画像に示された6つの方程式を解く問題です。今回は、特に (1) $x^4+3x^3-12x^2-20x+48=0$ を解きます。

1. 問題の内容

画像に示された6つの方程式を解く問題です。今回は、特に (1) $x^4+3x^3-12x^2-20x+48=0$ を解きます。

2. 解き方の手順

(1) の四次方程式 $x^4+3x^3-12x^2-20x+48=0$ を解きます。

与えられた式を見て、整数解を探します。$x=2$ を代入すると、

$2^4 + 3(2^3) - 12(2^2) - 20(2) + 48 = 16 + 24 - 48 - 40 + 48 = 0$

となるので、$x=2$ は解の一つです。

したがって、$(x-2)$ は因数となります。組み立て除法を行うと、

```

| 1 3 -12 -20 48

2 | 2 10 -4 -48

| 1 5 -2 -24 0

```

よって、

$x^4+3x^3-12x^2-20x+48 = (x-2)(x^3+5x^2-2x-24)$

次に、$x^3+5x^2-2x-24=0$ を解きます。$x=2$を代入すると、

$2^3+5(2^2)-2(2)-24=8+20-4-24=0$

したがって、$x=2$は解の一つです。$(x-2)$は因数となります。

再び組み立て除法を行うと、

```

| 1 5 -2 -24

2 | 2 14 24

| 1 7 12 0

```

よって、

$x^3+5x^2-2x-24 = (x-2)(x^2+7x+12)$

さらに、$x^2+7x+12 = (x+3)(x+4)$ と因数分解できます。

したがって、

$x^4+3x^3-12x^2-20x+48 = (x-2)(x-2)(x+3)(x+4) = (x-2)^2(x+3)(x+4)$

3. 最終的な答え

(1) $x=2, 2, -3, -4$