与えられた分数の分母を有理化する問題です。 分数は $\frac{2\sqrt{2}}{3-\sqrt{5}}$ です。

1. 問題の内容

与えられた分数の分母を有理化する問題です。

分数は $\frac{2\sqrt{2}}{3-\sqrt{5}}$ です。

2. 解き方の手順

分母を有理化するために、$3+\sqrt{5}$ を分子と分母の両方に掛けます。

$\frac{2\sqrt{2}}{3-\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{2}(3+\sqrt{5})}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})}$

分母を展開します。

$(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5}) = 3^2 - (\sqrt{5})^2 = 9-5 = 4$

分子を展開します。

$2\sqrt{2}(3+\sqrt{5}) = 6\sqrt{2}+2\sqrt{10}$

したがって、

$\frac{2\sqrt{2}(3+\sqrt{5})}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})} = \frac{6\sqrt{2}+2\sqrt{10}}{4}$

分子と分母を2で割って簡略化します。

$\frac{6\sqrt{2}+2\sqrt{10}}{4} = \frac{3\sqrt{2}+\sqrt{10}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{10}}{2}$