$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}$ の整数部分を $a$, 小数部分を $b$ とするとき、以下の問いに答えなさい。 (1) $a$ の値を求めなさい。 (2) $b$ の値を求めなさい。 (3) $(a+\frac{1}{a})(b-\frac{1}{b})$ の値を求めなさい。

1. 問題の内容

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}$ の整数部分を $a$, 小数部分を $b$ とするとき、以下の問いに答えなさい。

(1) $a$ の値を求めなさい。

(2) $b$ の値を求めなさい。

(3) $(a+\frac{1}{a})(b-\frac{1}{b})$ の値を求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}$ を簡単にするために、分母を有理化します。

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{2+\sqrt{2}}{2-1} = 2+\sqrt{2}$

(1) $a$ の値を求める。

$\sqrt{2} \approx 1.414$ なので、$2+\sqrt{2} \approx 2+1.414 = 3.414$。

したがって、$a = 3$。

(2) $b$ の値を求める。

小数部分 $b$ は、$b = (2+\sqrt{2}) - a = 2+\sqrt{2} - 3 = \sqrt{2}-1$。

(3) $(a+\frac{1}{a})(b-\frac{1}{b})$ の値を求める。

$a=3$ なので、

$a+\frac{1}{a} = 3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}$

$b = \sqrt{2}-1$ なので、

$\frac{1}{b} = \frac{1}{\sqrt{2}-1} = \frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{\sqrt{2}+1}{2-1} = \sqrt{2}+1$

したがって、

$b-\frac{1}{b} = (\sqrt{2}-1) - (\sqrt{2}+1) = -2$

$(a+\frac{1}{a})(b-\frac{1}{b}) = (\frac{10}{3})(-2) = -\frac{20}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $a=3$

(2) $b=\sqrt{2}-1$

(3) $(a+\frac{1}{a})(b-\frac{1}{b}) = -\frac{20}{3}$