(1) 線形変換 $f$ によってベクトル $\vec{p}, \vec{q}$ がそれぞれ $\begin{pmatrix} 0 \\ 5 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$ に移るとき、$3\vec{p} + 2\vec{q}$ の $f$ による像を求める。 (2) 行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}$ で表される線形変換を $f$ とするとき、$f$ の逆変換 $f^{-1}$ による直線 $2x+y=6$ の像を求める。 (3) 行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -1 & -3 \end{pmatrix}$ で表される線形変換を $f$ とするとき、線形変換 $f \circ f$ によって点 $(4, -2)$ に移る点の座標を求める。 (4) 線形変換による座標平面全体の像はどのような図形になるか考察する。

1. 問題の内容

(1) 線形変換 $f$ によってベクトル $\vec{p}, \vec{q}$ がそれぞれ $\begin{pmatrix} 0 \\ 5 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$ に移るとき、$3\vec{p} + 2\vec{q}$ の $f$ による像を求める。

(2) 行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}$ で表される線形変換を $f$ とするとき、$f$ の逆変換 $f^{-1}$ による直線 $2x+y=6$ の像を求める。

(3) 行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -1 & -3 \end{pmatrix}$ で表される線形変換を $f$ とするとき、線形変換 $f \circ f$ によって点 $(4, -2)$ に移る点の座標を求める。

(4) 線形変換による座標平面全体の像はどのような図形になるか考察する。

2. 解き方の手順

(1)

$f(\vec{p}) = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \end{pmatrix}$、 $f(\vec{q}) = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$ とする。

線形性より、

$f(3\vec{p} + 2\vec{q}) = 3f(\vec{p}) + 2f(\vec{q})$

$= 3 \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 15 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ -6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 9 \end{pmatrix}$

(2)

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}$ の逆行列 $A^{-1}$ は、

$A^{-1} = \frac{1}{(2)(3) - (1)(5)} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}$

直線 $2x+y=6$ 上の点を $(x, y)$ とし、$f^{-1}$ による像を $(x', y')$ とすると、

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = A^{-1} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3x - y \\ -5x + 2y \end{pmatrix}$

よって、$x' = 3x - y$, $y' = -5x + 2y$

$x = 2x' + y'$、 $y = 6x' + 3y'$

これらを $2x+y=6$ に代入すると、

$2(2x'+y') + (6x'+3y') = 6$

$4x' + 2y' + 6x' + 3y' = 6$

$10x' + 5y' = 6$

$10x + 5y = 6$

(3)

$A = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -1 & -3 \end{pmatrix}$

線形変換 $f \circ f$ は $A^2$ で表される。

$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -1 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -1 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-4 & 4-12 \\ -1+3 & -4+9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & -8 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$

移る前の点を $(x, y)$ とすると、

$\begin{pmatrix} -3 & -8 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix}$

$-3x - 8y = 4$

$2x + 5y = -2$

これを解くと、

$-6x - 16y = 8$

$6x + 15y = -6$

$-y = 2$, $y = -2$

$2x + 5(-2) = -2$

$2x - 10 = -2$

$2x = 8$, $x = 4$

したがって、移る前の点は $(4, -2)$ である。

(4)

$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ とすると、

$\det A = ad - bc$

もし $ad - bc \neq 0$ ならば、線形変換による像は平面全体となる。

もし $ad - bc = 0$ ならば、線形変換による像は直線または点となる。

行列が $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ の場合は点。そうでない場合は直線。

3. 最終的な答え

(1) $\begin{pmatrix} 4 \\ 9 \end{pmatrix}$

(2) $10x + 5y = 6$

(3) $(4, -2)$

(4) $ad - bc \neq 0$ ならば平面全体、 $ad - bc = 0$ ならば直線または点。