与えられた式 $2x^2 + 5xy + 2y^2 - x + y - 1$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $2x^2 + 5xy + 2y^2 - x + y - 1$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、$x$ と $y$ の2次式部分に注目して因数分解を試みる。

$2x^2 + 5xy + 2y^2 = (2x+y)(x+2y)$

次に、与えられた式全体を $(2x+y+a)(x+2y+b)$ の形になると仮定して展開する。

$(2x+y+a)(x+2y+b) = 2x^2 + 4xy + 2bx + xy + 2y^2 + by + ax + 2ay + ab$

$= 2x^2 + 5xy + 2y^2 + (2b+a)x + (b+2a)y + ab$

与えられた式 $2x^2 + 5xy + 2y^2 - x + y - 1$ と比較すると、以下の式が得られる。

$2b + a = -1$

$b + 2a = 1$

$ab = -1$

最初の二つの式から、$a$ と $b$ を求める。

$2b + a = -1$ より、$a = -1 - 2b$

これを $b + 2a = 1$ に代入すると、

$b + 2(-1 - 2b) = 1$

$b - 2 - 4b = 1$

$-3b = 3$

$b = -1$

$a = -1 - 2(-1) = -1 + 2 = 1$

したがって、$a=1$、$b=-1$

$ab = (1)(-1) = -1$ となり、条件を満たす。

よって、$2x^2 + 5xy + 2y^2 - x + y - 1 = (2x+y+1)(x+2y-1)$

3. 最終的な答え

$(2x+y+1)(x+2y-1)$