与えられた式 $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7) + 15$ を簡単にしてください。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7) + 15$ を簡単にしてください。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を展開しやすいように組み合わせます。

$(x-1)(x-7)$ と $(x-3)(x-5)$ をそれぞれ展開します。

$(x-1)(x-7) = x^2 - 8x + 7$

$(x-3)(x-5) = x^2 - 8x + 15$

ここで、$y = x^2 - 8x$ とおくと、式は $(y+7)(y+15) + 15$ となります。

これを展開すると、$y^2 + 22y + 105 + 15 = y^2 + 22y + 120$ となります。

この式を因数分解すると、 $(y+10)(y+12)$ となります。

$y = x^2 - 8x$ を代入して元に戻すと、

$(x^2 - 8x + 10)(x^2 - 8x + 12)$ となります。

ここで、$x^2 - 8x + 12$ はさらに因数分解できます。

$x^2 - 8x + 12 = (x-2)(x-6)$

したがって、与えられた式は $(x^2 - 8x + 10)(x-2)(x-6)$ となります。

3. 最終的な答え

$(x^2 - 8x + 10)(x-2)(x-6)$

または、

$(x-2)(x-6)(x^2 - 8x + 10)$