複素数平面において、点 $z$ が点2を通り実軸に垂直な直線上を動くとき、点 $w = \frac{1}{z}$ はどのような図形を描くかを求める問題です。

1. 問題の内容

複素数平面において、点 $z$ が点2を通り実軸に垂直な直線上を動くとき、点 $w = \frac{1}{z}$ はどのような図形を描くかを求める問題です。

2. 解き方の手順

点 $z$ が点2を通り実軸に垂直な直線上を動くことから、$z = 2 + yi$ （$y$ は実数）と表せます。

$w = \frac{1}{z}$ であるから、$w = \frac{1}{2+yi}$となります。

$w = \frac{1}{2+yi}$ の分母を実数化するために、分母分子に $2-yi$ をかけます。

$w = \frac{1}{2+yi} \times \frac{2-yi}{2-yi} = \frac{2-yi}{(2+yi)(2-yi)} = \frac{2-yi}{4 - (yi)^2} = \frac{2-yi}{4+y^2}$

$w = \frac{2}{4+y^2} - \frac{y}{4+y^2}i$

$w = x+yi$ とおくと、$x = \frac{2}{4+y^2}$ , $y = - \frac{y}{4+y^2}$　となります。

ここで、wのy座標と問題をyと区別するため、$w = x+vi$ とおきなおすと、$x = \frac{2}{4+y^2}$, $v = - \frac{y}{4+y^2}$　となります。

$x = \frac{2}{4+y^2}$　を変形して、$4+y^2 = \frac{2}{x}$

よって、$y^2 = \frac{2}{x} - 4$

$v = - \frac{y}{4+y^2}$を変形して、$4+y^2 = - \frac{y}{v}$

よって、$y^2 = - \frac{y}{v} - 4$

ゆえに $\frac{2}{x}-4 = - \frac{v}{v} - 4$

$\frac{2}{x} = - \frac{y}{v}$

$y = - \frac{2v}{x}$

$y^2 = \frac{2}{x} - 4$に代入して、$y = - \frac{2v}{x}$

$( - \frac{2v}{x})^2 = \frac{2}{x} - 4$

$\frac{4v^2}{x^2} = \frac{2}{x} - 4$

$\frac{4v^2}{x^2} = \frac{2-4x}{x}$

$4v^2 = 2x - 4x^2$

$4x^2 - 2x + 4v^2 = 0$

$x^2 - \frac{1}{2}x + v^2 = 0$

$(x - \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{16} + v^2 = 0$

$(x - \frac{1}{4})^2 + v^2 = \frac{1}{16}$

これは、中心が $\frac{1}{4}$ で半径 $\frac{1}{4}$ の円を表します。

ここで、$z=2+yi$ であるので、y=0の場合、z=2となり、$w = \frac{1}{2}$ となります。

これは円周上の点であり、$z$が実軸に垂直な直線上を動くとき、$w$は原点を通ることはありません。

よって、原点(0,0)は除く必要があります。

3. 最終的な答え

中心 $\frac{1}{4}$、半径 $\frac{1}{4}$ の円。ただし、原点を除く。