(1) 実数 $x$ がすべての実数値をとりうるとき、$t = x^2 + 4x$ のとりうる値の範囲を求める。 (2) 実数 $x$ がすべての実数値をとりうるとき、$(x^2 + 4x + 3)(x^2 + 4x + 5) + 2x^2 + 8x + 9$ が最小となるような $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) 実数 $x$ がすべての実数値をとりうるとき、$t = x^2 + 4x$ のとりうる値の範囲を求める。

(2) 実数 $x$ がすべての実数値をとりうるとき、$(x^2 + 4x + 3)(x^2 + 4x + 5) + 2x^2 + 8x + 9$ が最小となるような $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $t = x^2 + 4x$ を平方完成する。

$t = x^2 + 4x = (x + 2)^2 - 4$

$x$ はすべての実数値をとるので、$(x + 2)^2$ は0以上のすべての実数値をとる。

したがって、$t$ は $-4$ 以上のすべての実数値をとる。

(2) $x^2 + 4x = t$ とおく。与えられた式は

$(t + 3)(t + 5) + 2t + 9 = t^2 + 8t + 15 + 2t + 9 = t^2 + 10t + 24$

これを平方完成すると、

$t^2 + 10t + 24 = (t + 5)^2 - 1$

$t = x^2 + 4x = (x + 2)^2 - 4$ だったから、$t + 5 = (x + 2)^2 + 1$

$(t + 5)^2 - 1 = ((x + 2)^2 + 1)^2 - 1$

この式が最小となるのは、$(x + 2)^2 = 0$ のとき、つまり $x = -2$ のときである。

このとき、与えられた式は $-1$ となり、これが最小値である。

3. 最終的な答え

(1) $t \geqq -4$

(2) $x = -2$