与えられた数式の値を計算する問題です。数式は $(\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1})^2 + (\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1})^2$ です。

1. 問題の内容

与えられた数式の値を計算する問題です。数式は $(\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1})^2 + (\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1})^2$ です。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$ を有理化します。分母と分子に$\sqrt{3}+1$をかけます。

$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} = \frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{3-1} = \frac{4+2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$

次に、$\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$ を有理化します。分母と分子に$\sqrt{3}-1$をかけます。

$\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} = \frac{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{(\sqrt{3}-1)^2}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{3-1} = \frac{4-2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}$

与えられた式は、

$(\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1})^2 + (\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1})^2 = (2 + \sqrt{3})^2 + (2 - \sqrt{3})^2$

となります。

$(2 + \sqrt{3})^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3}$

$(2 - \sqrt{3})^2 = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 7 - 4\sqrt{3}$

したがって、

$(2 + \sqrt{3})^2 + (2 - \sqrt{3})^2 = (7 + 4\sqrt{3}) + (7 - 4\sqrt{3}) = 14$

3. 最終的な答え

14