与えられた式 $(x+y)(x-y)(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)$ を展開し、最も簡単な形に整理する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x+y)(x-y)(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)$ を展開し、最も簡単な形に整理する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$(x+y)(x-y)$ を計算します。これは、$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ の公式を利用して、$x^2 - y^2$ となります。

$(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$

次に、$(x^2 + xy + y^2)(x^2 - xy + y^2)$ を計算します。これは、次のように変形できます。

$(x^2 + xy + y^2)(x^2 - xy + y^2) = ((x^2 + y^2) + xy)((x^2 + y^2) - xy)$

ここで、$A = x^2 + y^2$ と置くと、これは $(A+xy)(A-xy)$ となり、$A^2 - (xy)^2$ となります。したがって、

$(x^2 + y^2)^2 - (xy)^2 = (x^4 + 2x^2y^2 + y^4) - x^2y^2 = x^4 + x^2y^2 + y^4$

最後に、これらの結果を掛け合わせます。

$(x^2 - y^2)(x^4 + x^2y^2 + y^4)$

これは、$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ の公式の逆を利用しています。

ここで、$a=x^2$、$b=y^2$ とすると、上記の式は $(x^2 - y^2)((x^2)^2 + x^2y^2 + (y^2)^2) = (x^2)^3 - (y^2)^3 = x^6 - y^6$ となります。

したがって、

$(x^2-y^2)(x^4 + x^2y^2 + y^4) = x^6 - y^6$

3. 最終的な答え

$x^6 - y^6$