問題は、与えられた等式 $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$を利用して、$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$ を導き、その結果を用いて、(1) $a^3 + b^3 - c^3 + 3abc$ と (2) $x^3 + 8y^3 + 1 - 6xy$ を因数分解することです。

1. 問題の内容

問題は、与えられた等式 $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$を利用して、$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$ を導き、その結果を用いて、(1) $a^3 + b^3 - c^3 + 3abc$ と (2) $x^3 + 8y^3 + 1 - 6xy$ を因数分解することです。

2. 解き方の手順

まず、$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$ を因数分解します。

$a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$ を用いて、

$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b)^3 - 3ab(a+b) + c^3 - 3abc$

$= (a+b)^3 + c^3 - 3ab(a+b) - 3abc$

$= (a+b+c)((a+b)^2 - (a+b)c + c^2) - 3ab(a+b+c)$

$= (a+b+c)(a^2 + 2ab + b^2 - ac - bc + c^2 - 3ab)$

$= (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$

これで、$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$ が導けました。

次に、(1) $a^3 + b^3 - c^3 + 3abc$ を因数分解します。

$a^3 + b^3 - c^3 + 3abc = a^3 + b^3 + (-c)^3 - 3ab(-c)$

先程導いた公式を利用すると、

$a^3 + b^3 + (-c)^3 - 3ab(-c) = (a + b - c)(a^2 + b^2 + (-c)^2 - a\cdot b - b\cdot (-c) - a\cdot (-c))$

$= (a + b - c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab + bc + ca)$

最後に、(2) $x^3 + 8y^3 + 1 - 6xy$ を因数分解します。

$x^3 + 8y^3 + 1 - 6xy = x^3 + (2y)^3 + 1^3 - 3(x)(2y)(1)$

先程導いた公式を利用すると、

$x^3 + (2y)^3 + 1^3 - 3(x)(2y)(1) = (x + 2y + 1)(x^2 + (2y)^2 + 1^2 - x(2y) - (2y)(1) - x(1))$

$= (x + 2y + 1)(x^2 + 4y^2 + 1 - 2xy - 2y - x)$

3. 最終的な答え

(1) $a^3 + b^3 - c^3 + 3abc = (a + b - c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab + bc + ca)$

(2) $x^3 + 8y^3 + 1 - 6xy = (x + 2y + 1)(x^2 + 4y^2 + 1 - 2xy - 2y - x)$