## 解答

## 解答

### (1) 問題の内容

$a, b, c, d$ は正の数で、$a > b$ かつ $c > d$ のとき、$ac > bd$ であることを証明する。

### (1) 解き方の手順

$a > b$ より、$a - b > 0$。

$c > d$ より、$c - d > 0$。

$ac - bd$ を計算する。

$ac - bd = ac - bc + bc - bd = c(a - b) + b(c - d)$

$a - b > 0$ かつ $c > 0$ より、$c(a - b) > 0$。

$c - d > 0$ かつ $b > 0$ より、$b(c - d) > 0$。

したがって、$c(a - b) + b(c - d) > 0$。

ゆえに、$ac - bd > 0$。

よって、$ac > bd$ が成り立つ。

### (1) 最終的な答え

$ac > bd$

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### (2) 問題の内容

$x > y$ のとき、$\frac{x + 2y}{3} > \frac{x + 3y}{4}$ であることを証明する。

### (2) 解き方の手順

$\frac{x + 2y}{3} - \frac{x + 3y}{4}$ を計算し、その符号を調べる。

$\frac{x + 2y}{3} - \frac{x + 3y}{4} = \frac{4(x + 2y) - 3(x + 3y)}{12} = \frac{4x + 8y - 3x - 9y}{12} = \frac{x - y}{12}$

$x > y$ より、$x - y > 0$。

したがって、$\frac{x - y}{12} > 0$。

ゆえに、$\frac{x + 2y}{3} > \frac{x + 3y}{4}$ が成り立つ。

### (2) 最終的な答え

$\frac{x + 2y}{3} > \frac{x + 3y}{4}$

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### (3) 問題の内容

$a > b > c > d$ のとき、$ab + cd > ac + bd$ であることを証明する。

### (3) 解き方の手順

$ab + cd - (ac + bd)$ を計算し、その符号を調べる。

$ab + cd - (ac + bd) = ab - ac + cd - bd = a(b - c) - d(b - c) = (a - d)(b - c)$

$a > d$ より、$a - d > 0$。

$b > c$ より、$b - c > 0$。

したがって、$(a - d)(b - c) > 0$。

ゆえに、$ab + cd - (ac + bd) > 0$。

よって、$ab + cd > ac + bd$ が成り立つ。

### (3) 最終的な答え

$ab + cd > ac + bd$