与えられた2つの式を因数分解する問題です。 (1) $a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b)$ (2) $(a+b)(b+c)(c+a) + abc$

1. 問題の内容

与えられた2つの式を因数分解する問題です。

(1) $a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b)$

(2) $(a+b)(b+c)(c+a) + abc$

2. 解き方の手順

(1)

まず、$a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b)$ を展開します。

$a^2b - a^2c + b^2c - b^2a + c^2a - c^2b$

次に、aについて整理します。

$(b-c)a^2 + (c^2-b^2)a + (b^2c - c^2b)$

$(b-c)a^2 - (b+c)(b-c)a + bc(b-c)$

$(b-c)$で括ります。

$(b-c)[a^2 - (b+c)a + bc]$

括弧の中を因数分解します。

$(b-c)(a-b)(a-c)$

符号を調整します。

$-(a-b)(b-c)(c-a)$

(2)

$(a+b)(b+c)(c+a) + abc$ を展開します。

$(a+b)(bc + ab + c^2 + ac) + abc$

$abc + a^2b + ac^2 + a^2c + b^2c + ab^2 + bc^2 + abc + abc$

$a^2b + a^2c + ab^2 + b^2c + ac^2 + bc^2 + 3abc$

$a$ について整理します。

$(b+c)a^2 + (b^2 + 3bc + c^2)a + (b+c)bc$

$(b+c)a^2 + (b^2 + 2bc + c^2 + bc)a + (b+c)bc$

$(b+c)a^2 + ((b+c)^2 + bc)a + (b+c)bc$

$(a+b+c)(a+b)(b+c)(c+a) + abc$

$(a+b)(b+c)(c+a) + abc$

$= (a+b)(bc+ba+c^2+ca) + abc$

$= abc + a^2b + ac^2 + a^2c + b^2c + ab^2 + bc^2 + abc + abc$

$= a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 3abc$

$= (a+b)(b+c)(c+a) + abc$

$(a+b)(bc + c^2 + ab + ac) + abc = abc + ac^2 + a^2b + a^2c + b^2c + bc^2 + ab^2 + abc + abc = a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + b^2c + bc^2 + 3abc$

ここで、式を $(a+b)(b+c)(c+a) + abc = (a+b)(bc + ab + c^2 + ca) + abc = abc + a^2b + ac^2 + a^2c + b^2c + ab^2 + bc^2 + abc + abc$ と展開すると、式は $a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 3abc$ となります。

$(a+b)(b+c)(c+a)+abc = (a+b+c)(ab+bc+ca)$

$a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + b^2c + bc^2 + 3abc = a^2b + abc + a^2c + ac^2 + abc + b^2c + ab^2 + bc^2 + abc = (a+b+c)(ab+bc+ca)$

$(a+b+c)(ab+bc+ac) = a^2b + abc + a^2c + ab^2 + b^2c + abc + abc + ac^2 + bc^2 = a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + b^2c + bc^2 + 3abc$

3. 最終的な答え

(1) $-(a-b)(b-c)(c-a)$

(2) $(a+b+c)(ab+bc+ca)$