次の和を求める問題です。 (1) $\sum_{k=1}^{n} (2k + 5)$ (2) $\sum_{k=1}^{n} (k^2 + k)$

1. 問題の内容

次の和を求める問題です。

(1) $\sum_{k=1}^{n} (2k + 5)$

(2) $\sum_{k=1}^{n} (k^2 + k)$

2. 解き方の手順

(1)

$\sum_{k=1}^{n} (2k + 5)$ を計算します。シグマ記号の性質より、

$\sum_{k=1}^{n} (2k + 5) = 2\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 5$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 5 = 5n$

したがって、

$2\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 5 = 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + 5n = n(n+1) + 5n = n^2 + n + 5n = n^2 + 6n = n(n+6)$

(2)

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 + k)$ を計算します。シグマ記号の性質より、

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 + k) = \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(2n+1) + 3n(n+1)}{6} = \frac{n(n+1)(2n+1+3)}{6} = \frac{n(n+1)(2n+4)}{6} = \frac{2n(n+1)(n+2)}{6} = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $n(n+6)$

(2) $\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$