以下の2つの問題について、それぞれ2つの関数のグラフの共有点の座標を求める。 (1) $y = \frac{1}{x} + 2$ と $y = 2x + 1$ (2) $y = \frac{3}{x-1}$ と $y = x + 1$

1. 問題の内容

以下の2つの問題について、それぞれ2つの関数のグラフの共有点の座標を求める。

(1) $y = \frac{1}{x} + 2$ と $y = 2x + 1$

(2) $y = \frac{3}{x-1}$ と $y = x + 1$

2. 解き方の手順

共有点の座標は、2つの関数の式を連立させて解くことで求められる。

(1) $y = \frac{1}{x} + 2$ と $y = 2x + 1$ を連立する。

$\frac{1}{x} + 2 = 2x + 1$

両辺に $x$ を掛けて整理する。

$1 + 2x = 2x^2 + x$

$2x^2 - x - 1 = 0$

$(2x + 1)(x - 1) = 0$

$x = -\frac{1}{2}, 1$

$x = -\frac{1}{2}$ のとき、

$y = 2(-\frac{1}{2}) + 1 = -1 + 1 = 0$

$x = 1$ のとき、

$y = 2(1) + 1 = 3$

よって、共有点の座標は $(-\frac{1}{2}, 0)$ と $(1, 3)$ である。

(2) $y = \frac{3}{x-1}$ と $y = x + 1$ を連立する。

$\frac{3}{x-1} = x + 1$

両辺に $x-1$ を掛けて整理する。

$3 = (x + 1)(x - 1)$

$3 = x^2 - 1$

$x^2 = 4$

$x = \pm 2$

$x = 2$ のとき、

$y = 2 + 1 = 3$

$x = -2$ のとき、

$y = -2 + 1 = -1$

よって、共有点の座標は $(2, 3)$ と $(-2, -1)$ である。

3. 最終的な答え

(1) $(-\frac{1}{2}, 0), (1, 3)$

(2) $(2, 3), (-2, -1)$