$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$ の整数の部分を $a$、小数部分を $b$ とします。 (1) $a$ と $b$ を求めます。 (2) $a+2b+b^2+1$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$ の整数の部分を $a$、小数部分を $b$ とします。

(1) $a$ と $b$ を求めます。

(2) $a+2b+b^2+1$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\frac{1}{2-\sqrt{3}}$ の分母を有理化します。

$\frac{1}{2-\sqrt{3}} = \frac{1}{2-\sqrt{3}} \cdot \frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} = \frac{2+\sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2+\sqrt{3}}{4-3} = 2+\sqrt{3}$

$\sqrt{3}$ の近似値を考えます。$1 < \sqrt{3} < 2$ であるので、$2+1 < 2+\sqrt{3} < 2+2$ つまり、$3 < 2+\sqrt{3} < 4$ となります。したがって、整数の部分は $a=3$ です。

小数部分は、全体の数から整数の部分を引いたものなので、$b = (2+\sqrt{3}) - 3 = \sqrt{3} - 1$ となります。

(2) $a+2b+b^2+1$ に $a=3$ と $b=\sqrt{3}-1$ を代入します。

$a+2b+b^2+1 = 3 + 2(\sqrt{3}-1) + (\sqrt{3}-1)^2 + 1 = 3 + 2\sqrt{3} - 2 + (3 - 2\sqrt{3} + 1) + 1 = 3 + 2\sqrt{3} - 2 + 4 - 2\sqrt{3} + 1 = 6$

3. 最終的な答え

(1) $a = 3$, $b = \sqrt{3} - 1$

(2) $a+2b+b^2+1 = 6$