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与えられた4x4行列Aの逆行列$A^{-1}$を求める問題です。行列Aは以下の通りです。 $A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & -13 & -15 \\ 3 & -8 & 44 & 47 \\ -1 & 3 & -17 & -18 \\ -1 & 3 & -16 & -17 \end{pmatrix}$

代数学行列逆行列線形代数掃き出し法
2025/5/12

1. 問題の内容

与えられた4x4行列Aの逆行列A−1A^{-1}を求める問題です。行列Aは以下の通りです。
$A = \begin{pmatrix}
-1 & 2 & -13 & -15 \\
3 & -8 & 44 & 47 \\
-1 & 3 & -17 & -18 \\
-1 & 3 & -16 & -17
\end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

逆行列を求めるには、掃き出し法を用いるのが一般的です。
行列Aに単位行列を並べた拡大行列を作り、基本変形を繰り返してAの部分を単位行列に変形します。このとき、右側の単位行列が逆行列A−1A^{-1}に変わります。
拡大行列は次のようになります。
$\begin{pmatrix}
-1 & 2 & -13 & -15 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
3 & -8 & 44 & 47 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
-1 & 3 & -17 & -18 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
-1 & 3 & -16 & -17 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$
以下、行基本変形を行います。

1. 1行目を-1倍する:

$\begin{pmatrix}
1 & -2 & 13 & 15 & -1 & 0 & 0 & 0 \\
3 & -8 & 44 & 47 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
-1 & 3 & -17 & -18 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
-1 & 3 & -16 & -17 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$

2. 2行目から1行目の3倍を引く:

$\begin{pmatrix}
1 & -2 & 13 & 15 & -1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -2 & 5 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\
-1 & 3 & -17 & -18 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
-1 & 3 & -16 & -17 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$

3. 3行目に1行目を足す:

$\begin{pmatrix}
1 & -2 & 13 & 15 & -1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -2 & 5 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & -4 & -3 & -1 & 0 & 1 & 0 \\
-1 & 3 & -16 & -17 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$

4. 4行目に1行目を足す:

$\begin{pmatrix}
1 & -2 & 13 & 15 & -1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -2 & 5 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & -4 & -3 & -1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & -3 & -2 & -1 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$

5. 3行目と2行目を入れ替える:

$\begin{pmatrix}
1 & -2 & 13 & 15 & -1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & -4 & -3 & -1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & -2 & 5 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & -3 & -2 & -1 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$

6. 3行目に2行目の2倍を足す：

$\begin{pmatrix}
1 & -2 & 13 & 15 & -1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & -4 & -3 & -1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & -3 & -4 & 1 & 1 & 2 & 0 \\
0 & 1 & -3 & -2 & -1 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$

7. 4行目から2行目を引く:

$\begin{pmatrix}
1 & -2 & 13 & 15 & -1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & -4 & -3 & -1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & -3 & -4 & 1 & 1 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & -1 & 1
\end{pmatrix}$

8. 3行目と4行目を入れ替える

$\begin{pmatrix}
1 & -2 & 13 & 15 & -1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & -4 & -3 & -1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & -1 & 1 \\
0 & 0 & -3 & -4 & 1 & 1 & 2 & 0
\end{pmatrix}$

9. 4行目に3行目の3倍を足す

$\begin{pmatrix}
1 & -2 & 13 & 15 & -1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & -4 & -3 & -1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & -1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & -1 & 1 & 1 & -1 & 3
\end{pmatrix}$
1

0. 4行目を-1倍する:

$\begin{pmatrix}
1 & -2 & 13 & 15 & -1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & -4 & -3 & -1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & -1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & -1 & -1 & 1 & -3
\end{pmatrix}$
1

1. 1行目から4行目の15倍を引く:

$\begin{pmatrix}
1 & -2 & 13 & 0 & 14 & 15 & -15 & 45 \\
0 & 1 & -4 & -3 & -1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & -1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & -1 & -1 & 1 & -3
\end{pmatrix}$
1

2. 2行目に4行目の3倍を足す:

$\begin{pmatrix}
1 & -2 & 13 & 0 & 14 & 15 & -15 & 45 \\
0 & 1 & -4 & 0 & -4 & -3 & 4 & -9 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & -1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & -1 & -1 & 1 & -3
\end{pmatrix}$
1

3. 1行目から3行目の13倍を引く:

$\begin{pmatrix}
1 & -2 & 0 & 0 & 14 & 15 & 2 & 32 \\
0 & 1 & -4 & 0 & -4 & -3 & 4 & -9 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & -1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & -1 & -1 & 1 & -3
\end{pmatrix}$
1

4. 2行目に3行目の4倍を足す：

$\begin{pmatrix}
1 & -2 & 0 & 0 & 14 & 15 & 2 & 32 \\
0 & 1 & 0 & 0 & -4 & -3 & 0 & -5 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & -1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & -1 & -1 & 1 & -3
\end{pmatrix}$
1

5. 1行目に2行目の2倍を足す：

$\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 6 & 9 & 2 & 22 \\
0 & 1 & 0 & 0 & -4 & -3 & 0 & -5 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & -1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & -1 & -1 & 1 & -3
\end{pmatrix}$
1

6. 3行目から4行目を引く：

$\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 6 & 9 & 2 & 22 \\
0 & 1 & 0 & 0 & -4 & -3 & 0 & -5 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & -2 & 4 \\
0 & 0 & 0 & 1 & -1 & -1 & 1 & -3
\end{pmatrix}$
ここまでで、左半分が単位行列になったので、右半分が逆行列。

3. 最終的な答え

$A^{-1} = \begin{pmatrix}
6 & 9 & 2 & 22 \\
-4 & -3 & 0 & -5 \\
1 & 1 & -2 & 4 \\
-1 & -1 & 1 & -3
\end{pmatrix}$

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