次の問題の方程式と不等式を解く。 (1) $\frac{1}{x-1} = x+1$ (2) $\frac{1}{x-1} \leq x+1$

1. 問題の内容

次の問題の方程式と不等式を解く。

(1) $\frac{1}{x-1} = x+1$

(2) $\frac{1}{x-1} \leq x+1$

2. 解き方の手順

(1)

$\frac{1}{x-1} = x+1$

両辺に $x-1$ をかけると、

$1 = (x+1)(x-1)$

$1 = x^2 - 1$

$x^2 = 2$

$x = \pm \sqrt{2}$

$x = \pm \sqrt{2}$ は $x \neq 1$ を満たすので、解となる。

(2)

$\frac{1}{x-1} \leq x+1$

$\frac{1}{x-1} - (x+1) \leq 0$

$\frac{1-(x+1)(x-1)}{x-1} \leq 0$

$\frac{1-(x^2-1)}{x-1} \leq 0$

$\frac{2-x^2}{x-1} \leq 0$

$\frac{x^2-2}{x-1} \geq 0$

$\frac{(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})}{x-1} \geq 0$

数直線を書いて考える。

$x < -\sqrt{2}, 1 < x \leq \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $x = \pm \sqrt{2}$

(2) $x \leq -\sqrt{2}, 1 < x \leq \sqrt{2}$