与えられた式 $(x+y+1)(x+y-1)(x-y+1)(x-y-1)$ を展開して簡単にします。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x+y+1)(x+y-1)(x-y+1)(x-y-1)$ を展開して簡単にします。

2. 解き方の手順

まず、最初の二つの括弧と後の二つの括弧をそれぞれ計算します。

$(x+y+1)(x+y-1)$ を計算します。これは $(x+y)$ を一つの項と見なすと、和と差の積の公式が使えます。

$(x+y+1)(x+y-1) = ((x+y)+1)((x+y)-1) = (x+y)^2 - 1^2 = (x^2 + 2xy + y^2) - 1 = x^2 + 2xy + y^2 - 1$

次に、$(x-y+1)(x-y-1)$ を計算します。これも $(x-y)$ を一つの項と見なすと、和と差の積の公式が使えます。

$(x-y+1)(x-y-1) = ((x-y)+1)((x-y)-1) = (x-y)^2 - 1^2 = (x^2 - 2xy + y^2) - 1 = x^2 - 2xy + y^2 - 1$

したがって、与えられた式は以下のようになります。

$(x^2 + 2xy + y^2 - 1)(x^2 - 2xy + y^2 - 1)$

ここで、$(x^2 + y^2 - 1)$ を一つの項と見なすと、これも和と差の積の公式が使えます。

$((x^2 + y^2 - 1) + 2xy)((x^2 + y^2 - 1) - 2xy) = (x^2 + y^2 - 1)^2 - (2xy)^2$

$= (x^2 + y^2 - 1)^2 - 4x^2y^2$

$= (x^2 + y^2)^2 - 2(x^2 + y^2) + 1 - 4x^2y^2$

$= x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - 2x^2 - 2y^2 + 1 - 4x^2y^2$

$= x^4 - 2x^2y^2 + y^4 - 2x^2 - 2y^2 + 1$

$= (x^2 - y^2)^2 - 2(x^2 + y^2) + 1$

3. 最終的な答え

$x^4 - 2x^2y^2 + y^4 - 2x^2 - 2y^2 + 1$