問題は、式 $a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)$ を因数分解することです。

1. 問題の内容

問題は、式 $a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)$ を因数分解することです。

2. 解き方の手順

まず、式を展開します。

$a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b) = a^2b - a^2c + b^2c - b^2a + c^2a - c^2b$

次に、次数が最も低い文字について整理します。この場合、どの文字についても次数は2なので、ここでは $a$ について整理します。

$a^2b - a^2c + b^2c - b^2a + c^2a - c^2b = (b-c)a^2 + (c^2-b^2)a + (b^2c-c^2b)$

さらに、式を整理します。

$(b-c)a^2 + (c^2-b^2)a + (b^2c-c^2b) = (b-c)a^2 - (b^2-c^2)a + bc(b-c)$

$(b-c)a^2 - (b^2-c^2)a + bc(b-c) = (b-c)a^2 - (b+c)(b-c)a + bc(b-c)$

$(b-c)$ でくくります。

$(b-c)a^2 - (b+c)(b-c)a + bc(b-c) = (b-c)[a^2 - (b+c)a + bc]$

括弧の中を因数分解します。

$(b-c)[a^2 - (b+c)a + bc] = (b-c)(a-b)(a-c)$

符号を調整します。

$(b-c)(a-b)(a-c) = -(a-b)(b-c)(c-a)$

3. 最終的な答え

$-(a-b)(b-c)(c-a)$