与えられた式 $3xy + 3y^2 - x - 7y + 2$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $3xy + 3y^2 - x - 7y + 2$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を $y$ について整理します。

$3xy + 3y^2 - x - 7y + 2 = 3y^2 + (3x - 7)y - x + 2$

次に、定数項 $-x + 2$ を因数分解すると、$-(x-2)$となります。

与式を $y$ についての二次式とみて、たすき掛けを試みます。

$3y^2 + (3x-7)y - (x-2)$

$3y^2$ の係数である $3$ を $3 \times 1$ と分解し、

定数項 $-(x-2)$ を $1 \times -(x-2)$ と分解します。

ここで $3y^2 + (3x-7)y - x + 2 = (3y + a)(y + b)$と仮定します。

$a \times b = -x+2$を満たし、$3b + a = 3x-7$を満たす$a, b$を見つけます。

ここで、$(3y - 1)(y + \frac{-x+2}{-1}) = (3y - 1)(y - x + 2)$ と仮定すると、

$(3y - 1)(y-x+2) = 3y^2 -3xy + 6y - y + x - 2 = 3y^2 -3xy+5y+x-2$となり、うまくいきません。

そこで、与式を以下のように変形します。

$3xy + 3y^2 - x - 7y + 2 = 3y(x + y) -x-7y+2$

$3xy + 3y^2 - x - 7y + 2 = (ay+b)(cy+d)$とおいてみます。

$ac = 3, ad+bc = 3x-7, bd = -x+2$

うまく因数分解できそうにありません。

$3y^2 + (3x-7)y - x + 2 = (3y+a)(y+b)$と仮定します。

$3y^2 + (3x-7)y -x + 2$

$3y^2 + (3b+a)y + ab$

$3b+a = 3x-7, ab = -x+2$

$ab = -x+2$より、$a = -x+2, b = 1$または、$b = -x+2, a = 1$など。

$3b+a = 3x-7$

$b = 1のとき、3+a = 3x-7より、a = 3x-10$

$a=1のとき、3b+1=3x-7より、3b = 3x-8となり、$b = x-\frac{8}{3}$

$b = -x+2のとき、3(-x+2)+a = 3x-7$

$-3x+6+a = 3x-7$

$a=6x-13$

$-x+2 = (3y-1)(y-1/3 x+2/3)$となり、係数が整数にならない。

$3xy+3y^2-x-7y+2$

$3xy-x+3y^2-7y+2$

$x(3y-1)+(3y^2-7y+2) = x(3y-1)+(3y-1)(y-2)$

$=(3y-1)(x+y-2)$

3. 最終的な答え

$(3y-1)(x+y-2)$