(1) 一般項 $a_n = -5n + 6$ で与えられる数列 $\{a_n\}$ が等差数列であることを示し、その初項と公差を求める。 (2) 数列 $\{a_n\}$ の項を初項から2つおきにとってできる数列 $a_1, a_4, a_7, \dots$ が等差数列であることを示し、その初項と公差を求める。

1. 問題の内容

(1) 一般項 $a_n = -5n + 6$ で与えられる数列 $\{a_n\}$ が等差数列であることを示し、その初項と公差を求める。

(2) 数列 $\{a_n\}$ の項を初項から2つおきにとってできる数列 $a_1, a_4, a_7, \dots$ が等差数列であることを示し、その初項と公差を求める。

2. 解き方の手順

(1) 数列 $\{a_n\}$ が等差数列であることを示すためには、$a_{n+1} - a_n$ が $n$ に依存しない定数となることを示せばよい。

$a_{n+1}$ は、

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a_{n+1} = -5(n+1) + 6 = -5n - 5 + 6 = -5n + 1

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よって、

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a_{n+1} - a_n = (-5n + 1) - (-5n + 6) = -5n + 1 + 5n - 6 = -5

$$$$

$a_{n+1} - a_n = -5$ は $n$ に依存しない定数なので、数列 $\{a_n\}$ は等差数列である。

初項 $a_1$ は、

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a_1 = -5(1) + 6 = -5 + 6 = 1

$$$$

公差は $a_{n+1} - a_n = -5$ である。

(2) 数列 $a_1, a_4, a_7, \dots$ は、一般項が $a_{3n-2}$ で表せる数列である。

$a_{3n-2}$ は、

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a_{3n-2} = -5(3n-2) + 6 = -15n + 10 + 6 = -15n + 16

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この数列が等差数列であることを示すには、$a_{3(n+1)-2} - a_{3n-2}$ が $n$ に依存しない定数となることを示せばよい。

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a_{3(n+1)-2} = a_{3n+1} = -5(3n+1) + 6 = -15n - 5 + 6 = -15n + 1

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よって、

$$$$

a_{3n+1} - a_{3n-2} = (-15n + 1) - (-15n + 16) = -15n + 1 + 15n - 16 = -15

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$a_{3n+1} - a_{3n-2} = -15$ は $n$ に依存しない定数なので、数列 $a_1, a_4, a_7, \dots$ は等差数列である。

初項は $a_1 = 1$ である。

公差は $a_{3n+1} - a_{3n-2} = -15$ である。

3. 最終的な答え

(1) 数列 $\{a_n\}$ は等差数列であり、初項は1、公差は-5である。

(2) 数列 $a_1, a_4, a_7, \dots$ は等差数列であり、初項は1、公差は-15である。