与えられた式 $(a^4 + 2a^2b^2 + b^4)^2$ を展開して簡略化する。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a^4 + 2a^2b^2 + b^4)^2$ を展開して簡略化する。

2. 解き方の手順

まず、括弧の中の式を簡単にします。

$a^4 + 2a^2b^2 + b^4$ は $(a^2 + b^2)^2$ と因数分解できます。

よって、与えられた式は

$((a^2 + b^2)^2)^2$

となります。

指数の性質 $(x^m)^n = x^{mn}$ を使うと、

$((a^2 + b^2)^2)^2 = (a^2 + b^2)^{2 \cdot 2} = (a^2 + b^2)^4$

となります。

次に、$(a^2 + b^2)^4$ を展開します。

$(a^2 + b^2)^4 = ((a^2 + b^2)^2)^2$

まず、$(a^2 + b^2)^2$ を展開します。

$(a^2 + b^2)^2 = (a^2)^2 + 2(a^2)(b^2) + (b^2)^2 = a^4 + 2a^2b^2 + b^4$

したがって、

$(a^2 + b^2)^4 = (a^4 + 2a^2b^2 + b^4)^2$

$(a^4 + 2a^2b^2 + b^4)^2 = (a^4 + 2a^2b^2 + b^4)(a^4 + 2a^2b^2 + b^4)$

展開すると

$a^8 + 2a^6b^2 + a^4b^4 + 2a^6b^2 + 4a^4b^4 + 2a^2b^6 + a^4b^4 + 2a^2b^6 + b^8$

同類項をまとめると

$a^8 + 4a^6b^2 + 6a^4b^4 + 4a^2b^6 + b^8$

3. 最終的な答え

$a^8 + 4a^6b^2 + 6a^4b^4 + 4a^2b^6 + b^8$