ある映画館の入場券には、1300円の大人券、800円の子ども券、2000円の親子ペア券の3種類がある。ある日の入場券の販売額の合計が272900円であり、大人券の販売枚数は親子ペア券の販売枚数の半分より9枚少ない。販売枚数が最も多いのが親子ペア券、次が子ども券、最も少ないのが大人券であるとき、大人券の販売枚数として、正しいのはどれか。

1. 問題の内容

ある映画館の入場券には、1300円の大人券、800円の子ども券、2000円の親子ペア券の3種類がある。ある日の入場券の販売額の合計が272900円であり、大人券の販売枚数は親子ペア券の販売枚数の半分より9枚少ない。販売枚数が最も多いのが親子ペア券、次が子ども券、最も少ないのが大人券であるとき、大人券の販売枚数として、正しいのはどれか。

2. 解き方の手順

大人券の販売枚数を $x$ 、子ども券の販売枚数を $y$ 、親子ペア券の販売枚数を $z$ とする。問題文から以下の3つの式が立てられる。

(1) 販売額の合計: $1300x + 800y + 2000z = 272900$

(2) 大人券と親子ペア券の関係: $x = \frac{z}{2} - 9$

(3) 販売枚数の大小関係: $z > y > x$

式(2)を変形して $z = 2x + 18$を得る。これを式(1)に代入する。

$1300x + 800y + 2000(2x + 18) = 272900$

$1300x + 800y + 4000x + 36000 = 272900$

$5300x + 800y = 236900$

$53x + 8y = 2369$

$y = \frac{2369 - 53x}{8}$

また、$z > y > x$ より、$2x+18 > \frac{2369 - 53x}{8} > x$

まず、$2x+18 > \frac{2369 - 53x}{8}$を解く。

$16x + 144 > 2369 - 53x$

$69x > 2225$

$x > \frac{2225}{69} \approx 32.25$

次に、$\frac{2369 - 53x}{8} > x$を解く。

$2369 - 53x > 8x$

$2369 > 61x$

$x < \frac{2369}{61} \approx 38.84$

したがって、$32.25 < x < 38.84$である。

選択肢の中から、$x$が整数であるものを探すと、36, 37, 38がある。

選択肢を順番に検討する。

もし $x = 36$ ならば、

$y = \frac{2369 - 53(36)}{8} = \frac{2369 - 1908}{8} = \frac{461}{8} = 57.625$となり、整数ではないので不適。

もし $x = 37$ ならば、

$y = \frac{2369 - 53(37)}{8} = \frac{2369 - 1961}{8} = \frac{408}{8} = 51$

$z = 2x + 18 = 2(37) + 18 = 74 + 18 = 92$

このとき、$z = 92 > y = 51 > x = 37$を満たす。

もし $x = 38$ ならば、

$y = \frac{2369 - 53(38)}{8} = \frac{2369 - 2014}{8} = \frac{355}{8} = 44.375$となり、整数ではないので不適。

したがって、$x = 37$が適する。

3. 最終的な答え

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