与えられた式 $\frac{x^2+1}{x-1} - \frac{x^2+3x+4}{x+2}$ を計算し、最も簡単な形で表す問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{x^2+1}{x-1} - \frac{x^2+3x+4}{x+2}$ を計算し、最も簡単な形で表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、2つの分数を共通の分母で表します。共通の分母は $(x-1)(x+2)$ です。

$\frac{x^2+1}{x-1}$ の分子と分母に $(x+2)$ を掛けます。

$\frac{x^2+3x+4}{x+2}$ の分子と分母に $(x-1)$ を掛けます。

すると、

$\frac{(x^2+1)(x+2)}{(x-1)(x+2)} - \frac{(x^2+3x+4)(x-1)}{(x+2)(x-1)}$

となります。

次に、分子をそれぞれ展開します。

$(x^2+1)(x+2) = x^3 + 2x^2 + x + 2$

$(x^2+3x+4)(x-1) = x^3 - x^2 + 3x^2 - 3x + 4x - 4 = x^3 + 2x^2 + x - 4$

したがって、

$\frac{x^3 + 2x^2 + x + 2}{(x-1)(x+2)} - \frac{x^3 + 2x^2 + x - 4}{(x-1)(x+2)}$

となります。

次に、分子の差を計算します。

$(x^3 + 2x^2 + x + 2) - (x^3 + 2x^2 + x - 4) = x^3 + 2x^2 + x + 2 - x^3 - 2x^2 - x + 4 = 6$

したがって、

$\frac{6}{(x-1)(x+2)}$

となります。

最後に、分母を展開します。

$(x-1)(x+2) = x^2 + 2x - x - 2 = x^2 + x - 2$

したがって、

$\frac{6}{x^2+x-2}$

となります。

3. 最終的な答え

$\frac{6}{x^2+x-2}$