(1) $x^2 + 2x + 4 = 0$ のとき、$x^3$ の値を求める。 (2) $x + \frac{1}{x} = 3$ のとき、$x^3 + \frac{1}{x^3}$ と $x^4 + \frac{1}{x^4}$ の値を求める。 (3) $(2x^2 + \frac{1}{x})^7$ の展開式で、$x^2$ の係数を求める。 (4) $(x + y + 2z)^6$ の展開式で、$x^3y^2z$ の係数を求める。

1. 問題の内容

(1) $x^2 + 2x + 4 = 0$ のとき、$x^3$ の値を求める。

(2) $x + \frac{1}{x} = 3$ のとき、$x^3 + \frac{1}{x^3}$ と $x^4 + \frac{1}{x^4}$ の値を求める。

(3) $(2x^2 + \frac{1}{x})^7$ の展開式で、$x^2$ の係数を求める。

(4) $(x + y + 2z)^6$ の展開式で、$x^3y^2z$ の係数を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$x^2 + 2x + 4 = 0$ より、両辺に $x-2$ を掛けると、

$(x-2)(x^2 + 2x + 4) = 0$

$x^3 - 8 = 0$

したがって、$x^3 = 8$

(2)

$x + \frac{1}{x} = 3$ のとき、

$(x + \frac{1}{x})^3 = x^3 + 3x^2(\frac{1}{x}) + 3x(\frac{1}{x^2}) + \frac{1}{x^3} = x^3 + 3(x + \frac{1}{x}) + \frac{1}{x^3}$

よって、$x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})^3 - 3(x + \frac{1}{x}) = 3^3 - 3(3) = 27 - 9 = 18$

$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 = 3^2 - 2 = 9 - 2 = 7$

$(x^2 + \frac{1}{x^2})^2 = x^4 + 2 + \frac{1}{x^4}$

$x^4 + \frac{1}{x^4} = (x^2 + \frac{1}{x^2})^2 - 2 = 7^2 - 2 = 49 - 2 = 47$

(3)

$(2x^2 + \frac{1}{x})^7$ の展開式における一般項は

$\binom{7}{r} (2x^2)^{7-r} (\frac{1}{x})^r = \binom{7}{r} 2^{7-r} x^{14-2r} x^{-r} = \binom{7}{r} 2^{7-r} x^{14-3r}$

$x^2$ の係数を求めるので、

$14 - 3r = 2$

$3r = 12$

$r = 4$

したがって、係数は $\binom{7}{4} 2^{7-4} = \binom{7}{4} 2^3 = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot 8 = 35 \cdot 8 = 280$

(4)

$(x + y + 2z)^6$ の展開式における一般項は

$\frac{6!}{p!q!r!} x^p y^q (2z)^r$ で、ただし $p + q + r = 6$

$x^3 y^2 z$ の係数を求めたいので、$p = 3, q = 2, r = 1$

$\frac{6!}{3!2!1!} x^3 y^2 (2z) = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(3 \cdot 2 \cdot 1)(2 \cdot 1)(1)} x^3 y^2 (2z) = \frac{720}{12} x^3 y^2 (2z) = 60 \cdot 2 x^3 y^2 z = 120 x^3 y^2 z$

したがって、係数は 120

3. 最終的な答え

(1) $x^3 = 8$

(2) $x^3 + \frac{1}{x^3} = 18$, $x^4 + \frac{1}{x^4} = 47$

(3) 280

(4) 120