等式 $\frac{5x+1}{(x+2)(x-1)} = \frac{a}{x+2} + \frac{b}{x-1}$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a$, $b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

等式 $\frac{5x+1}{(x+2)(x-1)} = \frac{a}{x+2} + \frac{b}{x-1}$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a$, $b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、右辺を通分します。

$\frac{a}{x+2} + \frac{b}{x-1} = \frac{a(x-1) + b(x+2)}{(x+2)(x-1)} = \frac{ax - a + bx + 2b}{(x+2)(x-1)} = \frac{(a+b)x + (2b-a)}{(x+2)(x-1)}$

したがって、

$\frac{5x+1}{(x+2)(x-1)} = \frac{(a+b)x + (2b-a)}{(x+2)(x-1)}$

この等式が恒等式であるためには、分子が等しくなければなりません。つまり、

$5x+1 = (a+b)x + (2b-a)$

係数を比較すると、次の連立方程式が得られます。

$a+b = 5$

$2b-a = 1$

上記の2つの式を連立させて解きます。

まず、1つ目の式から $a = 5 - b$ となります。

これを2つ目の式に代入すると、$2b - (5 - b) = 1$。

$2b - 5 + b = 1$

$3b = 6$

$b = 2$

$b = 2$ を $a = 5 - b$ に代入すると、$a = 5 - 2 = 3$。

したがって、$a = 3$, $b = 2$。

3. 最終的な答え

$a = 3$

$b = 2$