行列 $A = \begin{pmatrix} 0 & 21 & -6 \\ 20 & 8 & 20 \\ -2 & -11 & 4 \end{pmatrix}$ の固有値と固有ベクトルに関する問題です。 (1), (2) には固有値が小さい順に入り、(3), (4), (5) には対応する固有ベクトル成分が入ります。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 0 & 21 & -6 \\ 20 & 8 & 20 \\ -2 & -11 & 4 \end{pmatrix}$ の固有値と固有ベクトルに関する問題です。

(1), (2) には固有値が小さい順に入り、(3), (4), (5) には対応する固有ベクトル成分が入ります。

2. 解き方の手順

まず、行列 $A$ の固有値を求めます。固有方程式 $|A - \lambda I| = 0$ を解きます。ここで $I$ は単位行列、$\lambda$ は固有値を表します。

$A - \lambda I = \begin{pmatrix} -\lambda & 21 & -6 \\ 20 & 8-\lambda & 20 \\ -2 & -11 & 4-\lambda \end{pmatrix}$

$|A - \lambda I| = -\lambda((8-\lambda)(4-\lambda) - (-11)(20)) - 21(20(4-\lambda) - 20(-2)) - 6(20(-11) - (8-\lambda)(-2))$

$= -\lambda(32 - 12\lambda + \lambda^2 + 220) - 21(80 - 20\lambda + 40) - 6(-220 + 16 - 2\lambda)$

$= -\lambda(\lambda^2 - 12\lambda + 252) - 21(120 - 20\lambda) - 6(-204 - 2\lambda)$

$= -\lambda^3 + 12\lambda^2 - 252\lambda - 2520 + 420\lambda + 1224 + 12\lambda$

$= -\lambda^3 + 12\lambda^2 + 180\lambda - 1296$

$=-(\lambda - 6)(\lambda^2 - 6\lambda - 216) = -(\lambda - 6)(\lambda - 18)(\lambda + 12) = 0$

したがって、固有値は $-12$, $6$, $18$ です。

次に、各固有値に対応する固有ベクトルを求めます。

(1) $\lambda = -12$ のとき：

$(A - \lambda I)v_1 = 0$

$\begin{pmatrix} 12 & 21 & -6 \\ 20 & 20 & 20 \\ -2 & -11 & 16 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

2行目より $x+y+z = 0$。仮定より $x = 3, z = -1$ なので、$y = -x-z = -3-(-1) = -2$。したがって、$v_1 = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}$ となります。

よって、(3) = -

2.

(2) $\lambda = 6$ のとき：

$(A - \lambda I)v_2 = 0$

$\begin{pmatrix} -6 & 21 & -6 \\ 20 & 2 & 20 \\ -2 & -11 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

2行目より $10x + y + 10z = 0$。3行目より $x + 11y + z = 0$。仮定より $z = -1$ なので、$10x + y - 10 = 0$ かつ $x + 11y - 1 = 0$。

$y = 10 - 10x$ より、$x + 11(10 - 10x) - 1 = 0$。

$x + 110 - 110x - 1 = 0$ なので、$109x = 109$, $x = 1$.

$y = 10 - 10 = 0$. したがって、$v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$ となります。

よって、(4) =

1.

(3) $\lambda = 18$ のとき：

$(A - \lambda I)v_3 = 0$

$\begin{pmatrix} -18 & 21 & -6 \\ 20 & -10 & 20 \\ -2 & -11 & -14 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

仮定より $x = 3, y = 2$ なので、$-18(3) + 21(2) - 6z = 0$。$-54 + 42 - 6z = 0$ より、$-12 - 6z = 0$, $z = -2$.

したがって、$v_3 = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}$ となります。

よって、(5) = -

2.

固有値は小さい順に $-12, 6, 18$ なので、(1) = -12, (2) =

1

8.

3. 最終的な答え

(1) = -12

(2) = 18

(3) = -2

(4) = 1

(5) = -2