$x > 0$ のとき、不等式 $x + \frac{9}{x} \ge 6$ を証明し、等号が成り立つときの $x$ の値を求めよ。

## 問題6

1. 問題の内容

$x > 0$ のとき、不等式 $x + \frac{9}{x} \ge 6$ を証明し、等号が成り立つときの $x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

* 相加平均と相乗平均の関係を利用する。

$x > 0$ より、$\frac{9}{x} > 0$。

相加平均と相乗平均の関係から、

$\frac{x + \frac{9}{x}}{2} \ge \sqrt{x \cdot \frac{9}{x}}$

$\frac{x + \frac{9}{x}}{2} \ge \sqrt{9}$

$\frac{x + \frac{9}{x}}{2} \ge 3$

$x + \frac{9}{x} \ge 6$

* 等号成立条件を求める。

等号が成立するのは、$x = \frac{9}{x}$ のとき。

$x^2 = 9$

$x > 0$ より、$x = 3$

3. 最終的な答え

$\frac{x + \frac{9}{x}}{2} \ge \sqrt{9}$

等号成立は、$x = 3$ のときである。

## 問題7

1. 問題の内容

多項式 $P(x) = 2x^3 - 7x^2 + 10x - 6$ について、

(1) 与えられた選択肢の中から、$P(x)$ を割り切れるものを選びなさい。

(2) $P(x)$ を因数分解しなさい。

2. 解き方の手順

(1) 因数定理を利用する。$P(a) = 0$ ならば、$x - a$ は $P(x)$ の因数である。

* ア. $x - 2$ のとき、$P(2) = 2(2)^3 - 7(2)^2 + 10(2) - 6 = 16 - 28 + 20 - 6 = 2$ なので割り切れない

* イ. $x+6$のとき、$P(-6) = 2(-6)^3 - 7(-6)^2 + 10(-6) - 6 = -432 - 252 - 60 - 6 = -750$ なので割り切れない

* ウ. $x - \frac{1}{2}$のとき、$P(\frac{1}{2}) = 2(\frac{1}{2})^3 - 7(\frac{1}{2})^2 + 10(\frac{1}{2}) - 6 = \frac{1}{4} - \frac{7}{4} + 5 - 6 = -\frac{6}{4} -1= -\frac{5}{2}$ なので割り切れない

* エ. $x - \frac{3}{2}$ のとき、$P(\frac{3}{2}) = 2(\frac{3}{2})^3 - 7(\frac{3}{2})^2 + 10(\frac{3}{2}) - 6 = \frac{27}{4} - \frac{63}{4} + \frac{30}{2} - 6 = \frac{27}{4} - \frac{63}{4} + \frac{60}{4} - \frac{24}{4} = 0$ なので割り切れる

(2) $P(x)$ を因数分解する。

$P(x) = 2x^3 - 7x^2 + 10x - 6$

$x = \frac{3}{2}$ のとき $P(x) = 0$ なので、$2x - 3$ は $P(x)$ の因数である。

$P(x)$ を $2x - 3$ で割ると、

$2x^3 - 7x^2 + 10x - 6 = (2x - 3)(x^2 - 2x + 2)$

3. 最終的な答え

(1) エ. $x - \frac{3}{2}$

(2) $P(x) = (2x - 3)(x^2 - 2x + 2)$