与えられた式 $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{3\sqrt{2} - \sqrt{3}}$ を計算し、分母を有理化して簡略化する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{3\sqrt{2} - \sqrt{3}}$ を計算し、分母を有理化して簡略化する問題です。

2. 解き方の手順

まず、分母を有理化するために、分母の共役な複素数である $3\sqrt{2} + \sqrt{3}$ を分子と分母の両方に掛けます。

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{3\sqrt{2} - \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{3})(3\sqrt{2} + \sqrt{3})}{(3\sqrt{2} - \sqrt{3})(3\sqrt{2} + \sqrt{3})}$

分子を計算します。

$(\sqrt{2} + \sqrt{3})(3\sqrt{2} + \sqrt{3}) = \sqrt{2}(3\sqrt{2}) + \sqrt{2}(\sqrt{3}) + \sqrt{3}(3\sqrt{2}) + \sqrt{3}(\sqrt{3})$

$= 3(\sqrt{2})^2 + \sqrt{6} + 3\sqrt{6} + (\sqrt{3})^2$

$= 3(2) + 4\sqrt{6} + 3$

$= 6 + 4\sqrt{6} + 3$

$= 9 + 4\sqrt{6}$

分母を計算します。これは差の二乗の形になります。

$(3\sqrt{2} - \sqrt{3})(3\sqrt{2} + \sqrt{3}) = (3\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2$

$= 9(2) - 3$

$= 18 - 3$

$= 15$

したがって、元の式は次のようになります。

$\frac{9 + 4\sqrt{6}}{15}$

3. 最終的な答え

$\frac{9 + 4\sqrt{6}}{15}$