## 問題の概要

## 問題の概要

問題9は、与えられた指数関数の値を簡単にすることです。問題10は、与えられた式を計算し、その値を求めることです。

## 解き方の手順

### 問題9

(1) $36^{\frac{1}{2}}$

- $\frac{1}{2}$乗は平方根を意味します。

- $36$ の平方根は $6$ です。

- したがって、$36^{\frac{1}{2}} = 6$

(2) $27^{\frac{1}{3}}$

- $\frac{1}{3}$乗は立方根を意味します。

- $27$ の立方根は $3$ です。

- したがって、$27^{\frac{1}{3}} = 3$

(3) $81^{\frac{3}{4}}$

- $81^{\frac{3}{4}} = (81^{\frac{1}{4}})^3$

- $81$ の 4 乗根は $3$ です。

- $3^3 = 27$

- したがって、$81^{\frac{3}{4}} = 27$

(4) $32^{-\frac{1}{5}}$

- $32^{-\frac{1}{5}} = \frac{1}{32^{\frac{1}{5}}}$

- $32$ の 5 乗根は $2$ です。

- $\frac{1}{2}$

- したがって、$32^{-\frac{1}{5}} = \frac{1}{2}$

(5) $64^{-\frac{2}{3}}$

- $64^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{64^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{(64^{\frac{1}{3}})^2}$

- $64$ の立方根は $4$ です。

- $\frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}$

- したがって、$64^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{16}$

(6) $25^{-\frac{3}{2}}$

- $25^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{25^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{(25^{\frac{1}{2}})^3}$

- $25$ の平方根は $5$ です。

- $\frac{1}{5^3} = \frac{1}{125}$

- したがって、$25^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{125}$

### 問題10

(1) $8^{\frac{4}{3}}$

- $8^{\frac{4}{3}} = (8^{\frac{1}{3}})^4$

- $8$ の立方根は $2$ です。

- $2^4 = 16$

- したがって、$8^{\frac{4}{3}} = 16$

(2) $2^{\frac{1}{2}} \times 2^{\frac{3}{2}}$

- 指数法則より、$a^m \times a^n = a^{m+n}$

- $2^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}} = 2^{\frac{4}{2}} = 2^2 = 4$

- したがって、$2^{\frac{1}{2}} \times 2^{\frac{3}{2}} = 4$

(3) $3^{\frac{2}{3}} \times 9^{\frac{1}{6}}$

- $9 = 3^2$ なので、$9^{\frac{1}{6}} = (3^2)^{\frac{1}{6}} = 3^{\frac{2}{6}} = 3^{\frac{1}{3}}$

- $3^{\frac{2}{3}} \times 3^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} = 3^{\frac{3}{3}} = 3^1 = 3$

- したがって、$3^{\frac{2}{3}} \times 9^{\frac{1}{6}} = 3$

(4) $5^{\frac{9}{4}} \div 5^{\frac{1}{4}}$

- 指数法則より、$a^m \div a^n = a^{m-n}$

- $5^{\frac{9}{4} - \frac{1}{4}} = 5^{\frac{8}{4}} = 5^2 = 25$

- したがって、$5^{\frac{9}{4}} \div 5^{\frac{1}{4}} = 25$

(5) $\sqrt[6]{25} \times \sqrt[3]{25}$

- $25 = 5^2$ なので、$\sqrt[6]{25} = (5^2)^{\frac{1}{6}} = 5^{\frac{2}{6}} = 5^{\frac{1}{3}}$

- $\sqrt[3]{25} = (5^2)^{\frac{1}{3}} = 5^{\frac{2}{3}}$

- $5^{\frac{1}{3}} \times 5^{\frac{2}{3}} = 5^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} = 5^{\frac{3}{3}} = 5^1 = 5$

- したがって、$\sqrt[6]{25} \times \sqrt[3]{25} = 5$

(6) $\sqrt[3]{81} \div \sqrt{9}$

- $\sqrt[3]{81} = \sqrt[3]{3^4} = 3^{\frac{4}{3}}$

- $\sqrt{9} = 3$

- $3^{\frac{4}{3}} \div 3 = 3^{\frac{4}{3} - 1} = 3^{\frac{4}{3} - \frac{3}{3}} = 3^{\frac{1}{3}}$

- したがって、$\sqrt[3]{81} \div \sqrt{9} = \sqrt[3]{3}$

## 最終的な答え

問題9:

(1) 6

(2) 3

(3) 27

(4) 1/2

(5) 1/16

(6) 1/125

問題10:

(1) 16

(2) 4

(3) 3

(4) 25

(5) 5

(6) $\sqrt[3]{3}$