(1) $x > 0$ のとき、$7x + \frac{14}{x}$ の最小値とそのときの $x$ の値を求める。 (2) $x > 1$ のとき、$x + \frac{2}{x-1}$ の最小値とそのときの $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) $x > 0$ のとき、$7x + \frac{14}{x}$ の最小値とそのときの $x$ の値を求める。

(2) $x > 1$ のとき、$x + \frac{2}{x-1}$ の最小値とそのときの $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $x > 0$ のとき、$7x > 0$ かつ $\frac{14}{x} > 0$ であるから、相加平均・相乗平均の関係を用いることができる。

相加平均・相乗平均の関係より、

$$7x + \frac{14}{x} \ge 2\sqrt{7x \cdot \frac{14}{x}} = 2\sqrt{7 \cdot 14} = 2\sqrt{7 \cdot 7 \cdot 2} = 2 \cdot 7 \sqrt{2} = 14\sqrt{2}$$

等号成立は $7x = \frac{14}{x}$ のとき。

$7x^2 = 14$

$x^2 = 2$

$x > 0$ より $x = \sqrt{2}$

(2) $x > 1$ のとき、$x - 1 > 0$ である。

$x + \frac{2}{x-1} = (x-1) + \frac{2}{x-1} + 1$

$x - 1 > 0$ かつ $\frac{2}{x-1} > 0$ であるから、相加平均・相乗平均の関係を用いることができる。

相加平均・相乗平均の関係より、

$$(x-1) + \frac{2}{x-1} \ge 2\sqrt{(x-1) \cdot \frac{2}{x-1}} = 2\sqrt{2}$$

したがって、

$$x + \frac{2}{x-1} \ge 2\sqrt{2} + 1$$

等号成立は $x - 1 = \frac{2}{x-1}$ のとき。

$(x-1)^2 = 2$

$x - 1 = \pm \sqrt{2}$

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

$x > 1$ より $x = 1 + \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) 最小値: $14\sqrt{2}$, そのときの $x$ の値: $\sqrt{2}$

(2) 最小値: $1 + 2\sqrt{2}$, そのときの $x$ の値: $1 + \sqrt{2}$