$x = \frac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}$、$y = \frac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}$ のとき、以下の値を求めます。 (1) $x+y$ (2) $x^2+y^2$ (3) $\frac{x}{y} + \frac{y}{x}$

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

$x = \frac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}$、$y = \frac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}$ のとき、以下の値を求めます。

(1) $x+y$

(2) $x^2+y^2$

(3) $\frac{x}{y} + \frac{y}{x}$

2. 解き方の手順

(1) $x+y$ を求める。

まず、$x$ と $y$ をそれぞれ有理化します。

$x = \frac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}} = \frac{(3+\sqrt{5})(3+\sqrt{5})}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})} = \frac{9+6\sqrt{5}+5}{9-5} = \frac{14+6\sqrt{5}}{4} = \frac{7+3\sqrt{5}}{2}$

$y = \frac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}} = \frac{(3-\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})} = \frac{9-6\sqrt{5}+5}{9-5} = \frac{14-6\sqrt{5}}{4} = \frac{7-3\sqrt{5}}{2}$

したがって、

$x+y = \frac{7+3\sqrt{5}}{2} + \frac{7-3\sqrt{5}}{2} = \frac{14}{2} = 7$

(2) $x^2+y^2$ を求める。

$x^2 = (\frac{7+3\sqrt{5}}{2})^2 = \frac{49 + 42\sqrt{5} + 45}{4} = \frac{94 + 42\sqrt{5}}{4} = \frac{47 + 21\sqrt{5}}{2}$

$y^2 = (\frac{7-3\sqrt{5}}{2})^2 = \frac{49 - 42\sqrt{5} + 45}{4} = \frac{94 - 42\sqrt{5}}{4} = \frac{47 - 21\sqrt{5}}{2}$

したがって、

$x^2 + y^2 = \frac{47 + 21\sqrt{5}}{2} + \frac{47 - 21\sqrt{5}}{2} = \frac{94}{2} = 47$

(3) $\frac{x}{y} + \frac{y}{x}$ を求める。

$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{x^2 + y^2}{xy}$

$xy = (\frac{7+3\sqrt{5}}{2})(\frac{7-3\sqrt{5}}{2}) = \frac{49 - 45}{4} = \frac{4}{4} = 1$

$\frac{x^2+y^2}{xy} = \frac{47}{1} = 47$

3. 最終的な答え

(1) $x+y = 7$

(2) $x^2+y^2 = 47$

(3) $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 47$