与えられた式 $4x^4 - 13x^2 + 9$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $4x^4 - 13x^2 + 9$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 = y$ と置いて、与えられた式を$y$に関する二次式に変換します。

すると、$4x^4 - 13x^2 + 9$ は $4y^2 - 13y + 9$ となります。

次に、この二次式を因数分解します。

$4y^2 - 13y + 9$ を因数分解するため、足して-13、掛けて $4 \times 9 = 36$ となる2つの数を見つけます。

それらは -4 と -9 です。

したがって、

$4y^2 - 13y + 9 = 4y^2 - 4y - 9y + 9$

$= 4y(y - 1) - 9(y - 1)$

$= (4y - 9)(y - 1)$

次に、$y = x^2$ を代入して、元の変数$x$に戻します。

$(4y - 9)(y - 1) = (4x^2 - 9)(x^2 - 1)$

ここで、$4x^2 - 9$ と $x^2 - 1$ はそれぞれ二乗の差の形をしているので、さらに因数分解できます。

$4x^2 - 9 = (2x)^2 - 3^2 = (2x - 3)(2x + 3)$

$x^2 - 1 = x^2 - 1^2 = (x - 1)(x + 1)$

したがって、$4x^4 - 13x^2 + 9 = (2x - 3)(2x + 3)(x - 1)(x + 1)$

3. 最終的な答え

$(2x - 3)(2x + 3)(x - 1)(x + 1)$