与えられた数の大小を不等号を用いて表す問題です。 (1) $\sqrt{2}$, $\sqrt[3]{3}$, $\sqrt[6]{7}$ の大小関係を求める。 (2) $2^{30}$, $3^{20}$, $10^{10}$ の大小関係を求める。

1. 問題の内容

与えられた数の大小を不等号を用いて表す問題です。

(1) $\sqrt{2}$, $\sqrt[3]{3}$, $\sqrt[6]{7}$ の大小関係を求める。

(2) $2^{30}$, $3^{20}$, $10^{10}$ の大小関係を求める。

2. 解き方の手順

(1) それぞれの数を6乗して比較します。

$(\sqrt{2})^6 = (2^{\frac{1}{2}})^6 = 2^3 = 8$

$(\sqrt[3]{3})^6 = (3^{\frac{1}{3}})^6 = 3^2 = 9$

$(\sqrt[6]{7})^6 = (7^{\frac{1}{6}})^6 = 7$

したがって、$7 < 8 < 9$ であるから、$\sqrt[6]{7} < \sqrt{2} < \sqrt[3]{3}$

(2) それぞれの数を10乗根にして比較します。

$(2^{30})^{\frac{1}{10}} = 2^3 = 8$

$(3^{20})^{\frac{1}{10}} = 3^2 = 9$

$(10^{10})^{\frac{1}{10}} = 10^1 = 10$

したがって、$8 < 9 < 10$ であるから、$2^{30} < 3^{20} < 10^{10}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt[6]{7} < \sqrt{2} < \sqrt[3]{3}$

(2) $2^{30} < 3^{20} < 10^{10}$