$a+b+c=1$, $a^2+b^2+c^2=3$, $a^3+b^3+c^3=2$ のとき、$ab+bc+ca$ と $abc$ の値を求める。

1. 問題の内容

$a+b+c=1$, $a^2+b^2+c^2=3$, $a^3+b^3+c^3=2$ のとき、$ab+bc+ca$ と $abc$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(ab+bc+ca)$ を利用して $ab+bc+ca$ の値を求める。

$a+b+c = 1$ より $(a+b+c)^2 = 1^2 = 1$

$a^2+b^2+c^2 = 3$ なので、

$1 = 3 + 2(ab+bc+ca)$

$2(ab+bc+ca) = -2$

$ab+bc+ca = -1$

次に、$a^3+b^3+c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2 - ab - bc - ca)$ を利用して $abc$ の値を求める。

$a^3+b^3+c^3=2$

$a+b+c=1$

$a^2+b^2+c^2=3$

$ab+bc+ca=-1$

これらを代入して、

$2 - 3abc = 1(3 - (-1))$

$2 - 3abc = 4$

$-3abc = 2$

$abc = -\frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

$ab+bc+ca = -1$

$abc = -\frac{2}{3}$