以下の4つの複素数の累乗を計算する問題です。 (1) $(1 + \sqrt{3}i)^6$ (2) $(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i)^7$ (3) $(1 - i)^{-10}$ (4) $(\frac{3 + \sqrt{3}i}{2})^{-4}$

はい、承知いたしました。それでは、与えられた複素数の計算問題について、順に解説します。

1. 問題の内容

以下の4つの複素数の累乗を計算する問題です。

(1) $(1 + \sqrt{3}i)^6$

(2) $(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i)^7$

(3) $(1 - i)^{-10}$

(4) $(\frac{3 + \sqrt{3}i}{2})^{-4}$

2. 解き方の手順

複素数の累乗を計算するには、複素数を極形式で表し、ド・モアブルの定理を利用するのが一般的です。

(1) $(1 + \sqrt{3}i)^6$

まず、$1 + \sqrt{3}i$ を極形式で表します。

絶対値 $|1 + \sqrt{3}i| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$

偏角 $\theta$ について $\cos \theta = \frac{1}{2}$, $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ であるから、$\theta = \frac{\pi}{3}$

したがって、$1 + \sqrt{3}i = 2(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3})$

ド・モアブルの定理より、

$(1 + \sqrt{3}i)^6 = (2(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}))^6 = 2^6(\cos \frac{6\pi}{3} + i \sin \frac{6\pi}{3}) = 64(\cos 2\pi + i \sin 2\pi) = 64(1 + 0i) = 64$

(2) $(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i)^7$

$\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$ を極形式で表します。

絶対値 $|\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i| = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (-\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} = 1$

偏角 $\theta$ について $\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \theta = -\frac{1}{2}$ であるから、$\theta = -\frac{\pi}{6}$

したがって、$\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i = \cos (-\frac{\pi}{6}) + i \sin (-\frac{\pi}{6})$

ド・モアブルの定理より、

$(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i)^7 = (\cos (-\frac{\pi}{6}) + i \sin (-\frac{\pi}{6}))^7 = \cos (-\frac{7\pi}{6}) + i \sin (-\frac{7\pi}{6}) = \cos (\frac{5\pi}{6}) + i \sin (\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$

(3) $(1 - i)^{-10}$

$1 - i$ を極形式で表します。

絶対値 $|1 - i| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$

偏角 $\theta$ について $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $\sin \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ であるから、$\theta = -\frac{\pi}{4}$

したがって、$1 - i = \sqrt{2}(\cos (-\frac{\pi}{4}) + i \sin (-\frac{\pi}{4}))$

ド・モアブルの定理より、

$(1 - i)^{-10} = (\sqrt{2}(\cos (-\frac{\pi}{4}) + i \sin (-\frac{\pi}{4})))^{-10} = (\sqrt{2})^{-10}(\cos (\frac{10\pi}{4}) + i \sin (\frac{10\pi}{4})) = (\sqrt{2})^{-10}(\cos (\frac{5\pi}{2}) + i \sin (\frac{5\pi}{2})) = (\sqrt{2})^{-10}(\cos (\frac{\pi}{2}) + i \sin (\frac{\pi}{2})) = \frac{1}{2^5}(0 + i) = \frac{1}{32}i$

(4) $(\frac{3 + \sqrt{3}i}{2})^{-4}$

$\frac{3 + \sqrt{3}i}{2}$ を極形式で表します。

絶対値 $|\frac{3 + \sqrt{3}i}{2}| = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{12}{4}} = \sqrt{3}$

偏角 $\theta$ について $\cos \theta = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$ であるから、$\theta = \frac{\pi}{6}$

したがって、$\frac{3 + \sqrt{3}i}{2} = \sqrt{3}(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6})$

ド・モアブルの定理より、

$(\frac{3 + \sqrt{3}i}{2})^{-4} = (\sqrt{3}(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}))^{-4} = (\sqrt{3})^{-4}(\cos (-\frac{4\pi}{6}) + i \sin (-\frac{4\pi}{6})) = (\sqrt{3})^{-4}(\cos (-\frac{2\pi}{3}) + i \sin (-\frac{2\pi}{3})) = \frac{1}{9}(-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i) = -\frac{1}{18} - \frac{\sqrt{3}}{18}i$

3. 最終的な答え

(1) $64$

(2) $-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$

(3) $\frac{1}{32}i$

(4) $-\frac{1}{18} - \frac{\sqrt{3}}{18}i$