命題「$|x+3|<1$ ならば $x>a$」が真となるような実数 $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

命題「$|x+3|<1$ ならば $x>a$」が真となるような実数 $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、$|x+3|<1$ を満たす $x$ の範囲を求める。絶対値の性質から、

$-1 < x+3 < 1$

各辺から3を引くと、

$-4 < x < -2$

したがって、$|x+3|<1$ は $-4 < x < -2$ と同値である。

次に、命題「$|x+3|<1$ ならば $x>a$」が真となる条件を考える。これは、「$-4 < x < -2$ ならば $x>a$」が真となる条件と同値である。

この命題が真であるためには、$-4 < x < -2$ を満たす全ての $x$ が $x > a$ を満たしている必要がある。言い換えると、$x$ の範囲 $-4 < x < -2$ が $x > a$ の範囲に含まれている必要がある。

数直線で考えると、$x$ が $-4 < x < -2$ の範囲にあるとき、$x$ は必ず $-2$ より小さい。したがって、$a$ が $-4$ より小さいか $-4$ に等しい場合に、$x > a$ が成り立つことはない。一方で、$a$ が $-2$ より大きい場合、$x > a$ は成り立たない区間が存在する。

したがって、$x$ が $-4 < x < -2$ の範囲にあるとき、常に $x > a$ が成り立つためには、$a$ が $-4$ 以下でなければならない。しかし、$x$ の定義域は$-4 < x < -2$であるので、命題が真となるためには、$a \le -4$ではなく、$a < -4$を満たす必要がありそうだ。

より正確には、$x > a$ となるためには、$x$ の範囲の最小値（この場合、$-4$に近い値）が $a$ より大きければよい。したがって、$x > a$ が真となるためには、$-2 > a$ でなければならない。

したがって、求める $a$ の範囲は $a < -4$ ではない。

$|x+3|<1$ より $-1 < x+3 < 1$。したがって $-4 < x < -2$。

命題が真であるためには、$-4 < x < -2$ ならば $x > a$ が真である必要がある。つまり、$x$ の範囲 $(-4, -2)$ が、$x>a$ の範囲に含まれていなければならない。

このためには、$a$ は $-4$ より小さく、かつ $-2$ より小さい必要がある。したがって、$a < -4$ではない。

数直線で考えると、 $-4 < x < -2$ の範囲にある $x$ は、常に $x > a$ を満たす必要がある。言い換えれば、$-4 < x < -2$ の範囲は、$x > a$ の範囲に含まれる必要がある。

この条件を満たすためには、$a$ は $-4$ よりも小さくなくてはならない。しかし、$x > a$ なので、$x > -4$ は成り立たない。したがって、 $a < -4$ であれば十分条件となる。

3. 最終的な答え

$a \ge -4$