与えられた式 $2x^2 - 3xy - 2y^2 + 5x + 5y - 3$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $2x^2 - 3xy - 2y^2 + 5x + 5y - 3$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

与えられた式を$x$について整理します。

$2x^2 + (-3y+5)x + (-2y^2 + 5y - 3)$

定数項を因数分解します。

$-2y^2 + 5y - 3 = -(2y^2 - 5y + 3) = -(2y - 3)(y - 1)$

与式が因数分解できると仮定して、次の形に置きます。

$(2x + ay + b)(x + cy + d)$

$ac = -2, ad + bc = 5, bd = -3$ となるように$a, b, c, d$ を決定します。

定数項の因数分解の結果から、$a = 1, c = -2, b = -(y - 1), d = (2y - 3)$ と推測できます。あるいは、$a=2, c=-1$の可能性もあります。

まず、$2x^2 + (-3y+5)x + (-2y^2 + 5y - 3) = (2x+y+b)(x-2y+d)$を仮定して、$b,d$を求めます。

$2x^2 + (-3y+5)x + (-2y^2 + 5y - 3) = (2x+y+3)(x-2y+1)$ の形になるかを検討します。

$(2x + y + 3)(x - 2y + 1) = 2x^2 - 4xy + 2x + xy - 2y^2 + y + 3x - 6y + 3 = 2x^2 - 3xy - 2y^2 + 5x - 5y + 3$

符号が異なるので、

$2x^2 + (-3y+5)x + (-2y^2 + 5y - 3) = (2x-y-3)(x+2y-1)$ を検討します。

$(2x - y - 3)(x + 2y - 1) = 2x^2 + 4xy - 2x - xy - 2y^2 + y - 3x - 6y + 3 = 2x^2 + 3xy - 2y^2 - 5x - 5y + 3$

正しい組み合わせを探します。

$2x^2 - 3xy - 2y^2 + 5x + 5y - 3 = (2x+y)(x-2y)$ と主要部分に分解します。

$2x^2 -4xy + xy -2y^2 = 2x^2 -3xy -2y^2$

$(2x+y+a)(x-2y+b) = 2x^2 -3xy -2y^2 + (2b+a)x + (b-2a)y + ab$

$2b+a = 5$

$b-2a = 5$

$ab=-3$

$2b+a = 5$

$b = 5+2a$

$2(5+2a)+a = 5$

$10+4a+a=5$

$5a=-5$

$a=-1$

$b=3$

$(2x+y-1)(x-2y+3) = 2x^2 -4xy + 6x + xy - 2y^2 + 3y -x + 2y - 3 = 2x^2 - 3xy -2y^2 + 5x + 5y -3$

3. 最終的な答え

$(2x+y-1)(x-2y+3)$