与えられた式 $ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a)$ を展開し、整理して簡単にします。

1. 問題の内容

与えられた式 $ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a)$ を展開し、整理して簡単にします。

2. 解き方の手順

まず、各項を展開します。

$ab(a+b) = a^2b + ab^2$

$bc(b+c) = b^2c + bc^2$

$ca(c+a) = c^2a + ca^2$

したがって、

$ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) = a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2$

この式に $abc$ を足して引くと、因数分解できる形が現れます。

$a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc - 3abc$

$= a^2b + ab^2 + abc + b^2c + bc^2 + abc + c^2a + ca^2 + abc - 3abc$

$= ab(a+b+c) + bc(a+b+c) + ca(a+b+c) - 3abc$

$= (ab+bc+ca)(a+b+c) - 3abc$

ここで、元の式に $abc$ を足して引く方法で解き進めます。

$ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a)$

$= a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2$

この式を、因数分解の公式 $(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$ を利用するために変形します。

$a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + abc - abc$

$= (a+b)(b+c)(c+a) - abc$

ここで、$(a+b)(b+c)(c+a)$ を展開します。

$(a+b)(b+c)(c+a) = (ab+ac+b^2+bc)(c+a)$

$= abc + ac^2 + b^2c + bc^2 + a^2b + a^2c + ab^2 + abc$

$= a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 2abc$

したがって、

$a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 = (a+b)(b+c)(c+a) - 2abc$

ここで、最初の式に $- abc + abc$を加えることで因数分解を試みます

$ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + abc - abc$

$= a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc - 3abc$

ここで、式を再構成します。

$=(a+b)(b+c)(c+a) - abc$

式を展開すると、

$(a+b)(b+c)(c+a) - abc = (ab+ac+b^2+bc)(c+a) - abc$

$=abc+ac^2+b^2c+bc^2+a^2b+a^2c+ab^2+abc - abc$

$= a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + abc$

元の式は $ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$ です。

これを展開すると、

$ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)=a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2$

そして,

$a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2 + abc - abc = (a+b)(b+c)(c+a) - 2abc$

したがって、$a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2 = (a+b)(b+c)(c+a) - 2abc$ に $abc$ を足します。

$ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a) = (a+b)(b+c)(c+a)- abc - abc = (a+b)(b+c)(c+a) - 2abc$.

$(a+b)(b+c)(c+a)-abc = a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2 + abc$.

したがって、$ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a) = (a+b)(b+c)(c+a)- abc$。

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a) - abc$