初項1、公差$d$の等差数列$\{a_n\}$と、初項2、公比$r$の等比数列$\{b_n\}$があります。$c_n = a_n + b_n$とするとき、$c_2 = 10$, $c_3 = 25$, $c_4 = 64$である。数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ。

1. 問題の内容

初項1、公差$d$の等差数列$\{a_n\}$と、初項2、公比$r$の等比数列$\{b_n\}$があります。$c_n = a_n + b_n$とするとき、$c_2 = 10$, $c_3 = 25$, $c_4 = 64$である。数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ。

2. 解き方の手順

数列$\{a_n\}$の一般項は、$a_n = 1 + (n-1)d = 1 + nd - d$。

数列$\{b_n\}$の一般項は、$b_n = 2r^{n-1}$。

数列$\{c_n\}$の一般項は、$c_n = a_n + b_n = 1 + (n-1)d + 2r^{n-1}$。

問題文より、$c_2 = 1 + d + 2r = 10$、$c_3 = 1 + 2d + 2r^2 = 25$、$c_4 = 1 + 3d + 2r^3 = 64$。

これらの式を整理すると以下のようになる。

$d + 2r = 9$ ...(1)

$2d + 2r^2 = 24$ ...(2)

$3d + 2r^3 = 63$ ...(3)

式(2)を2で割ると、$d + r^2 = 12$ ...(4)

式(4)から式(1)を引くと、$r^2 - 2r = 3$。

$r^2 - 2r - 3 = 0$

$(r - 3)(r + 1) = 0$

$r = 3, -1$

$r = 3$のとき、式(1)より、$d + 2(3) = 9$なので、$d = 3$。

$r = -1$のとき、式(1)より、$d + 2(-1) = 9$なので、$d = 11$。

(i) $r = 3, d = 3$のとき

$c_n = 1 + (n-1)3 + 2(3^{n-1}) = 1 + 3n - 3 + 2(3^{n-1}) = 3n - 2 + 2(3^{n-1})$

$c_2 = 3(2) - 2 + 2(3^{2-1}) = 6 - 2 + 2(3) = 4 + 6 = 10$

$c_3 = 3(3) - 2 + 2(3^{3-1}) = 9 - 2 + 2(9) = 7 + 18 = 25$

$c_4 = 3(4) - 2 + 2(3^{4-1}) = 12 - 2 + 2(27) = 10 + 54 = 64$

(ii) $r = -1, d = 11$のとき

$c_n = 1 + (n-1)11 + 2(-1)^{n-1} = 1 + 11n - 11 + 2(-1)^{n-1} = 11n - 10 + 2(-1)^{n-1}$

$c_2 = 11(2) - 10 + 2(-1)^{2-1} = 22 - 10 + 2(-1) = 12 - 2 = 10$

$c_3 = 11(3) - 10 + 2(-1)^{3-1} = 33 - 10 + 2(1) = 23 + 2 = 25$

$c_4 = 11(4) - 10 + 2(-1)^{4-1} = 44 - 10 + 2(-1) = 34 - 2 = 32 \neq 64$

これは条件を満たさない。

したがって、$r=3, d=3$の場合のみが条件を満たす。

3. 最終的な答え

$c_n = 3n - 2 + 2(3^{n-1})$