与えられた等式 $x^3 + 1 = a(x-1)(x-2)(x-3) + b(x-1)(x-2) + c(x-1) + d$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c, d$ の値を求める問題です。係数比較法と数値代入法の2つの方法で求め、それぞれの方法のメリットを考察します。

1. 問題の内容

与えられた等式 $x^3 + 1 = a(x-1)(x-2)(x-3) + b(x-1)(x-2) + c(x-1) + d$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c, d$ の値を求める問題です。係数比較法と数値代入法の2つの方法で求め、それぞれの方法のメリットを考察します。

2. 解き方の手順

**(1) 係数比較法**

与えられた等式を展開して整理します。

$x^3 + 1 = a(x^3 - 6x^2 + 11x - 6) + b(x^2 - 3x + 2) + c(x - 1) + d$

$x^3 + 1 = ax^3 - 6ax^2 + 11ax - 6a + bx^2 - 3bx + 2b + cx - c + d$

$x^3 + 1 = ax^3 + (-6a + b)x^2 + (11a - 3b + c)x + (-6a + 2b - c + d)$

両辺の係数を比較します。

* $x^3$ の係数: $a = 1$

* $x^2$ の係数: $-6a + b = 0$

* $x$ の係数: $11a - 3b + c = 0$

* 定数項: $-6a + 2b - c + d = 1$

これらの式から、$a, b, c, d$ の値を求めます。

$a = 1$

$b = 6a = 6$

$c = -11a + 3b = -11 + 18 = 7$

$d = 1 + 6a - 2b + c = 1 + 6 - 12 + 7 = 2$

**(2) 数値代入法**

$x$ に適切な値を代入して、$a, b, c, d$ の値を求めます。$x = 1, 2, 3, 0$ を代入するのが効果的です。

* $x = 1$ のとき: $1^3 + 1 = a(0) + b(0) + c(0) + d \Rightarrow d = 2$

* $x = 2$ のとき: $2^3 + 1 = a(0) + b(0) + c(2-1) + d \Rightarrow 9 = c + 2 \Rightarrow c = 7$

* $x = 3$ のとき: $3^3 + 1 = a(0) + b(3-1)(3-2) + c(3-1) + d \Rightarrow 28 = 2b + 2c + d \Rightarrow 28 = 2b + 14 + 2 \Rightarrow 2b = 12 \Rightarrow b = 6$

* $x = 0$ のとき: $0^3 + 1 = a(-1)(-2)(-3) + b(-1)(-2) + c(-1) + d \Rightarrow 1 = -6a + 2b - c + d \Rightarrow 1 = -6a + 12 - 7 + 2 \Rightarrow 1 = -6a + 7 \Rightarrow -6a = -6 \Rightarrow a = 1$

**(3) メリットの考察**

* 係数比較法のメリット:

* 計算ミスが少ない（展開が正確であれば）。

* 機械的に解ける。

* 数値代入法のメリット:

* 計算が楽な場合がある（特に与えられた式に $(x-k)$ のような因子が含まれる場合）。

* 連立方程式を解く手間が少ない。

3. 最終的な答え

$a = 1$

$b = 6$

$c = 7$

$d = 2$