与えられた2次式 $6x^2 - 11xy - 10y^2$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた2次式 $6x^2 - 11xy - 10y^2$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

この式は、2つの2項式の積の形 $(ax + by)(cx + dy)$ に因数分解できると仮定します。

展開すると $acx^2 + (ad + bc)xy + bdy^2$ となります。

したがって、以下の条件を満たす $a, b, c, d$ を見つける必要があります。

$ac = 6$

$ad + bc = -11$

$bd = -10$

$ac = 6$を満たす整数解の組み合わせは、$(a, c) = (1, 6), (2, 3), (3, 2), (6, 1)$ などがあります。

$bd = -10$を満たす整数解の組み合わせは、$(b, d) = (1, -10), (2, -5), (5, -2), (10, -1), (-1, 10), (-2, 5), (-5, 2), (-10, 1)$ などがあります。

これらの組み合わせを試して、$ad + bc = -11$を満たすものを探します。

$(a, c) = (2, 3)$ と $(b, d) = (2, -5)$ を試すと、

$ad + bc = 2(-5) + 2(3) = -10 + 6 = -4$ となり、条件を満たしません。

$(a, c) = (2, 3)$ と $(b, d) = (5, -2)$ を試すと、

$ad + bc = 2(-2) + 5(3) = -4 + 15 = 11$ となり、符号が異なります。

$(a, c) = (2, 3)$ と $(b, d) = (-5, 2)$ を試すと、

$ad + bc = 2(2) + (-5)(3) = 4 - 15 = -11$ となり、条件を満たします。

したがって、$a=2, c=3, b=-5, d=2$ が解の一つです。

よって、因数分解の結果は $(2x - 5y)(3x + 2y)$ となります。

3. 最終的な答え

$(2x - 5y)(3x + 2y)$