(1) 条件 $x + 2y = 3$ のもとで、$x^2 + y^2$ の最小値を求め、そのときの $x$ と $y$ の値を求める問題です。 (2) 関数 $f(x) = 9\sin^2 x + 6\sin x \cos x - \cos^2 x$ を変形し、$f(x) = a\sin 2x + b\cos 2x + c$ の形にします。そして、$f(x)$ の最大値を求めます。

1. 問題の内容

(1) 条件 $x + 2y = 3$ のもとで、$x^2 + y^2$ の最小値を求め、そのときの $x$ と $y$ の値を求める問題です。

(2) 関数 $f(x) = 9\sin^2 x + 6\sin x \cos x - \cos^2 x$ を変形し、$f(x) = a\sin 2x + b\cos 2x + c$ の形にします。そして、$f(x)$ の最大値を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

$x+2y = 3$ より $x = 3 - 2y$。これを $x^2 + y^2$ に代入すると、

$x^2 + y^2 = (3 - 2y)^2 + y^2 = 9 - 12y + 4y^2 + y^2 = 5y^2 - 12y + 9$

この式を平方完成すると、

$5y^2 - 12y + 9 = 5(y^2 - \frac{12}{5}y) + 9 = 5(y - \frac{6}{5})^2 - 5(\frac{36}{25}) + 9 = 5(y - \frac{6}{5})^2 - \frac{36}{5} + \frac{45}{5} = 5(y - \frac{6}{5})^2 + \frac{9}{5}$

したがって、$y = \frac{6}{5}$ のとき最小値 $\frac{9}{5}$ をとる。

$x = 3 - 2y = 3 - 2(\frac{6}{5}) = 3 - \frac{12}{5} = \frac{15 - 12}{5} = \frac{3}{5}$

(2)

$f(x) = 9\sin^2 x + 6\sin x \cos x - \cos^2 x$

三角関数の倍角の公式 $\sin 2x = 2\sin x \cos x$、$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$、$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$、$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ を用いる。

$f(x) = 9(\frac{1 - \cos 2x}{2}) + 3\sin 2x - \frac{1 + \cos 2x}{2} = \frac{9}{2} - \frac{9}{2}\cos 2x + 3\sin 2x - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos 2x = 3\sin 2x - 5\cos 2x + 4$

$f(x) = 3\sin 2x - 5\cos 2x + 4 = A\sin(2x + \alpha) + 4$ とおくと、$A = \sqrt{3^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}$

したがって、$f(x)$ の最大値は $\sqrt{34} + 4$

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{3}{5}$, $y = \frac{6}{5}$ のとき、最小値 $\frac{9}{5}$ をとる。

(2) $f(x) = 3\sin 2x - 5\cos 2x + 4$ と変形でき、最大値は $\sqrt{34} + 4$ をとる。