$x > 0$ のとき、次の不等式を証明し、等号が成り立つ条件を求めます。 (1) $4x + \frac{1}{x} \geq 4$ (2) $(4x + \frac{1}{x})(x + \frac{9}{x}) \geq 49$

1. 問題の内容

$x > 0$ のとき、次の不等式を証明し、等号が成り立つ条件を求めます。

(1) $4x + \frac{1}{x} \geq 4$

(2) $(4x + \frac{1}{x})(x + \frac{9}{x}) \geq 49$

2. 解き方の手順

(1)

相加平均・相乗平均の関係を利用します。$x > 0$ より、$4x > 0$ かつ $\frac{1}{x} > 0$ なので、相加平均・相乗平均の関係から

$$\frac{4x + \frac{1}{x}}{2} \geq \sqrt{4x \cdot \frac{1}{x}} = \sqrt{4} = 2$$

したがって、

$$4x + \frac{1}{x} \geq 4$$

等号が成り立つのは、$4x = \frac{1}{x}$ のときです。

$4x^2 = 1$ より、$x^2 = \frac{1}{4}$。$x > 0$ より、$x = \frac{1}{2}$

(2)

$(4x + \frac{1}{x})(x + \frac{9}{x}) = 4x^2 + 36 + 1 + \frac{9}{x^2} = 4x^2 + \frac{9}{x^2} + 37$

ここで、$4x^2 > 0$ かつ $\frac{9}{x^2} > 0$ なので、相加平均・相乗平均の関係から

$$\frac{4x^2 + \frac{9}{x^2}}{2} \geq \sqrt{4x^2 \cdot \frac{9}{x^2}} = \sqrt{36} = 6$$

したがって、

$$4x^2 + \frac{9}{x^2} \geq 12$$

よって、

$$(4x + \frac{1}{x})(x + \frac{9}{x}) = 4x^2 + \frac{9}{x^2} + 37 \geq 12 + 37 = 49$$

等号が成り立つのは、$4x^2 = \frac{9}{x^2}$ のときです。

$4x^4 = 9$ より、$x^4 = \frac{9}{4}$。$x > 0$ より、$x^2 = \frac{3}{2}$。したがって、$x = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $4x + \frac{1}{x} \geq 4$. 等号成立は $x = \frac{1}{2}$ のとき.

(2) $(4x + \frac{1}{x})(x + \frac{9}{x}) \geq 49$. 等号成立は $x = \frac{\sqrt{6}}{2}$ のとき.