与えられた式 $2(x+1)^4 + 2(x-1)^4 + 5(x^2-1)^2$ を因数分解せよ。

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5. の問題

1. 問題の内容

与えられた式 $2(x+1)^4 + 2(x-1)^4 + 5(x^2-1)^2$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、式を展開して整理します。

$(x+1)^4 = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1$

$(x-1)^4 = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1$

$(x^2-1)^2 = x^4 - 2x^2 + 1$

したがって、

$2(x+1)^4 = 2x^4 + 8x^3 + 12x^2 + 8x + 2$

$2(x-1)^4 = 2x^4 - 8x^3 + 12x^2 - 8x + 2$

$5(x^2-1)^2 = 5x^4 - 10x^2 + 5$

これらの式を足し合わせると、

$2(x+1)^4 + 2(x-1)^4 + 5(x^2-1)^2 = (2x^4 + 2x^4 + 5x^4) + (8x^3 - 8x^3) + (12x^2 + 12x^2 - 10x^2) + (8x - 8x) + (2 + 2 + 5)$

$= 9x^4 + 14x^2 + 9$

次に、$A = x^2$ とおくと、与式は $9A^2 + 14A + 9$ となります。

これは平方完成を利用して因数分解できます。

$9A^2 + 14A + 9 = (3A)^2 + 2 \cdot 3A \cdot \frac{7}{3} + (\frac{7}{3})^2 - (\frac{7}{3})^2 + 9$

$= (3A + \frac{7}{3})^2 - \frac{49}{9} + \frac{81}{9}$

$= (3A + \frac{7}{3})^2 + \frac{32}{9}$

$= (\frac{9A+7}{3})^2 + \frac{32}{9}$

$= \frac{1}{9} [(9x^2+7)^2 + 32] = \frac{1}{9} [81x^4 + 126x^2 + 49 + 32]$

$= \frac{1}{9} [81x^4 + 126x^2 + 81] = 9x^4 + 14x^2 + 9$

$9x^4 + 14x^2 + 9$ は $9x^4 + 14x^2 + 9 = (ax^2+bx+c)(dx^2+ex+f)$の形になると仮定します。

ただし、これは実数範囲での因数分解はできないので、複素数範囲での因数分解を検討します。

ここで、$9x^4 + 14x^2 + 9$ を $(ax^2 + bx + c)(dx^2+ex+f)$ の形に因数分解することを考えます。

$9x^4 + 14x^2 + 9 = (ax^2 + bx + c)(dx^2 - bx + c)$ と仮定すると、$ad=9, c=3, adx^4+(ae+bd)x^3 + (af+be+cd)x^2 + (bf+ce)x + cf$

$ae - bd = 0, af+be+cd = 14, bf-ce=0, cf=9$

$ax^2 + bx + c = 3x^2 + Ax + 3$

$9x^4+6Ax^3+9x^2 + 3Ax^3 + A^2x^2+3Ax + 9x^2+3Ax+9 = 9x^4+6Ax^3 + (18+A^2)x^2+6Ax+9$

ここで$6A = 0$, $A = 0$より $18 = 14$ となり矛盾。

したがって、正解は$(x^2+1)(2x^2+2x+1)(2x^2-2x+1)$です。

3. 最終的な答え

$9x^4 + 14x^2 + 9$