与えられた式 $x^2 - 2y^2 - xy - 2x + 7y - 3$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 - 2y^2 - xy - 2x + 7y - 3$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

与えられた式を $x$ について整理します。

$$x^2 - (y + 2)x - (2y^2 - 7y + 3)$$

次に、定数項である$-(2y^2 - 7y + 3)$を因数分解します。

$$2y^2 - 7y + 3 = (2y - 1)(y - 3)$$

したがって、

$$-(2y^2 - 7y + 3) = -(2y - 1)(y - 3) = (1 - 2y)(y - 3)$$

ここで、$x$についての二次式の因数分解を考えます。

$$x^2 - (y + 2)x + (1 - 2y)(y - 3)$$

この二次式が$(x + a)(x + b)$の形に因数分解できると仮定すると、

$$a + b = -(y + 2)$$

$$ab = (1 - 2y)(y - 3)$$

$a$と$b$を$a = (1 - 2y)$, $b = (y - 3)$とおくと、

$$a + b = 1 - 2y + y - 3 = -y - 2 = -(y + 2)$$

$$ab = (1 - 2y)(y - 3)$$

したがって、

$$x^2 - (y + 2)x - (2y^2 - 7y + 3) = (x + 1 - 2y)(x + y - 3)$$

整理すると

$$x^2 - 2y^2 - xy - 2x + 7y - 3 = (x - 2y + 1)(x + y - 3)$$

3. 最終的な答え

$(x - 2y + 1)(x + y - 3)$