問題は $\sqrt{6-3\sqrt{3}}$ を簡単にすることです。

1. 問題の内容

問題は $\sqrt{6-3\sqrt{3}}$ を簡単にすることです。

2. 解き方の手順

$\sqrt{6-3\sqrt{3}}$ の簡略化を考えます。二重根号の外し方を応用します。

まず、$6-3\sqrt{3}$ を $(a-b)^2$ の形にすることを考えます。

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 = a^2 + b^2 - 2ab$

ここで、$a^2 + b^2 = 6$ かつ $2ab = 3\sqrt{3}$ つまり $ab = \frac{3\sqrt{3}}{2}$ となる $a, b$ を探します。

$a = \frac{3}{2}\sqrt{3}$ および $b = 1$ とすると、$a^2 = \frac{27}{4}$ および $b^2 = 1$ であり、$a^2 + b^2 = \frac{27}{4} + 1 = \frac{31}{4} \neq 6$ なのでうまくいきません。

$\sqrt{A \pm \sqrt{B}}$ の形を解消する一般的な方法として、

$\sqrt{A \pm \sqrt{B}} = \sqrt{\frac{A + \sqrt{A^2 - B}}{2}} \pm \sqrt{\frac{A - \sqrt{A^2 - B}}{2}}$

を利用することを検討します。

この場合、$A = 6$ および $B = 27$ です。すると、$A^2 - B = 36 - 27 = 9$ となります。

したがって、$\sqrt{A^2 - B} = \sqrt{9} = 3$ です。

$\sqrt{6 - \sqrt{27}} = \sqrt{\frac{6 + 3}{2}} - \sqrt{\frac{6 - 3}{2}} = \sqrt{\frac{9}{2}} - \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{3 - \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

分母を有理化すると、$\frac{3 - \sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{(3 - \sqrt{3})\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{6}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$