$a^2 + 5b^2 - 4ab - 2a + 5 \le 1$ を満たす整数の組 $(a, b)$ を求める問題です。左辺を平方完成させ、不等式を満たす $(a,b)$ を $a$ の小さい順に5組求めます。

1. 問題の内容

$a^2 + 5b^2 - 4ab - 2a + 5 \le 1$ を満たす整数の組 $(a, b)$ を求める問題です。左辺を平方完成させ、不等式を満たす $(a,b)$ を $a$ の小さい順に5組求めます。

2. 解き方の手順

与えられた不等式を変形します。

$a^2 + 5b^2 - 4ab - 2a + 5 \le 1$

$a^2 - (4b + 2)a + 5b^2 + 4 \le 0$

$a^2 - 2(2b+1)a + (2b+1)^2 - (2b+1)^2 + 5b^2 + 4 \le 0$

$(a - (2b+1))^2 - (4b^2 + 4b + 1) + 5b^2 + 4 \le 0$

$(a - 2b - 1)^2 + b^2 - 4b + 3 \le 0$

$(a - 2b - 1)^2 + (b^2 - 4b + 4) - 4 + 3 \le 0$

$(a - 2b - 1)^2 + (b - 2)^2 \le 1$

ここで、$x = a - 2b - 1$、$y = b - 2$ とおくと、$x^2 + y^2 \le 1$ となります。$a, b$ は整数なので、$x, y$ も整数です。

よって、$(x, y)$ の組み合わせは、

$(0, 0)$, $(1, 0)$, $(-1, 0)$, $(0, 1)$, $(0, -1)$ の5通りです。

それぞれの$(x, y)$について、$(a, b)$を計算します。

$x = a - 2b - 1$、 $y = b - 2$ より、$b = y + 2$、$a = x + 2b + 1 = x + 2(y+2) + 1 = x + 2y + 5$

1. $(x, y) = (0, 0)$ のとき、$b = 0 + 2 = 2$, $a = 0 + 2(0) + 5 = 5$。 よって$(a, b) = (5, 2)$

2. $(x, y) = (1, 0)$ のとき、$b = 0 + 2 = 2$, $a = 1 + 2(0) + 5 = 6$。 よって$(a, b) = (6, 2)$

3. $(x, y) = (-1, 0)$ のとき、$b = 0 + 2 = 2$, $a = -1 + 2(0) + 5 = 4$。 よって$(a, b) = (4, 2)$

4. $(x, y) = (0, 1)$ のとき、$b = 1 + 2 = 3$, $a = 0 + 2(1) + 5 = 7$。 よって$(a, b) = (7, 3)$

5. $(x, y) = (0, -1)$ のとき、$b = -1 + 2 = 1$, $a = 0 + 2(-1) + 5 = 3$。 よって$(a, b) = (3, 1)$

$a$ の小さい順に並べると、 $(3, 1), (4, 2), (5, 2), (6, 2), (7, 3)$

ア: 2

イ: 1

ウ: 2

エ: 3

オ: 1

カ: 4

キ: 2

ク: 5

ケ: 2

コ: 6

サ: 2

シ: 7

ス: 3

3. 最終的な答え

ア: 2

イ: 1

ウ: 2

エ: 3

オ: 1

カ: 4

キ: 2

ク: 5

ケ: 2

コ: 6

サ: 2

シ: 7

ス: 3