点 $z$ が与えられたとき、以下の複素数で表される点は、点 $z$ をどのように移動した点であるかを答える問題です。 (1) $\frac{-\sqrt{3}+i}{2}z$ (2) $(\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}i)z$ (3) $-3iz$

1. 問題の内容

点 $z$ が与えられたとき、以下の複素数で表される点は、点 $z$ をどのように移動した点であるかを答える問題です。

(1) $\frac{-\sqrt{3}+i}{2}z$

(2) $(\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}i)z$

(3) $-3iz$

2. 解き方の手順

複素数の積は、回転と拡大・縮小に対応します。複素数 $z$ に複素数 $w = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ を掛けることは、$z$ を原点中心に $\theta$ 回転させ、絶対値を $r$ 倍することに対応します。

(1) $\frac{-\sqrt{3}+i}{2}$ の絶対値と偏角を求めます。

絶対値は $\left|\frac{-\sqrt{3}+i}{2}\right| = \frac{\sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2}}{2} = \frac{\sqrt{3+1}}{2} = \frac{\sqrt{4}}{2} = 1$ です。

偏角 $\theta$ は、$\cos\theta = \frac{-\sqrt{3}}{2}$, $\sin\theta = \frac{1}{2}$ を満たすので、$\theta = \frac{5\pi}{6}$ です。

したがって、$\frac{-\sqrt{3}+i}{2}z$ は、$z$ を原点中心に $\frac{5\pi}{6}$ 回転させた点です。

(2) $\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}i$ の絶対値と偏角を求めます。

絶対値は $\left|\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}i\right| = \sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = \sqrt{1} = 1$ です。

偏角 $\theta$ は、$\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $\sin\theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ を満たすので、$\theta = -\frac{\pi}{4}$ です。

したがって、$(\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}i)z$ は、$z$ を原点中心に $-\frac{\pi}{4}$ 回転させた点です。

(3) $-3i$ の絶対値と偏角を求めます。

絶対値は $|-3i| = \sqrt{0^2 + (-3)^2} = \sqrt{9} = 3$ です。

偏角 $\theta$ は、$\cos\theta = 0$, $\sin\theta = -1$ を満たすので、$\theta = -\frac{\pi}{2}$ です。

したがって、$-3iz$ は、$z$ を原点中心に $-\frac{\pi}{2}$ 回転させ、絶対値を3倍した点です。

3. 最終的な答え

(1) 原点中心に $\frac{5\pi}{6}$ 回転

(2) 原点中心に $-\frac{\pi}{4}$ 回転

(3) 原点中心に $-\frac{\pi}{2}$ 回転し、3倍に拡大